ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (438ﾚｽ)
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2(2): １３２人目の素数さん [] 05/27(火)23:04 ID:mVXlvt9d(2/15)
つづき
メモ
https://www.iwanami.co.jp/book/b374907.html
岩波科学ライブラリー
ガロアの論文を読んでみた
時代を超越していたガロアの第1論文．その行間を補いつつ，高校数学をベースにじっくりと読み解く．
https://www.iwanami.co.jp//images/book/374907.jpg
著者 金 重明 著
刊行日 2018/09/21
試し読み
https://www.iwanami.co.jp/moreinfo/tachiyomi/0296770.pdf
この本の内容
決闘の前夜，ガロアが手にしていた第1論文．方程式の背後に群の構造を見出したこの論文は，まさに時代を超越するものだった．置換の定式化にはじまり，ガロア群，正規部分群の発見をへて，方程式が代数的に解ける条件の証明へ．簡潔で省略の多いガロアの記述の行間を補いつつ，高校数学をベースにじっくりと読み解く．
http://arigirisu2011.さくら.ne.jp/public_html/Galois01.html
ガロア理論 Galois theory
第一論文
ガロアの第一論文は、「方程式が代数的に解けるための必要十分条件」を【原理】と【応用】で論じている。
ここでは【原理】の部分を確認する。1831年当時「群」・「体」の用語がなく、ガロアは「群」・「体」という言葉は使わなかったが、ここでは「群」・「体」という用語を使って説明する。
概要
第一論文は、
・定義（可約と既約）
・定義（置換群）
・補題１（既約多項式の性質）→補題２（根でつくるV）→補題３（Ｖで根を表す）→補題４（Ｖの共役）
・定理１（「方程式のガロア群」の定義）
・定理２（「方程式のガロア群」の縮小）
・定理３（補助方程式のすべての根を添加）
・定理４（縮小したガロア群の性質）
・定理５（方程式が代数的に解ける必要十分条件）
というストーリーで進みます。
http://arigirisu2011.さくら.ne.jp/public_html/Galois02.html
ガロア理論 Galois theory
つづく
165(4): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/12(木)22:33 ID:EWvjXceg(2/3)
>>155
>2)は、必要条件を求める問題、もちろん有界閉区間での知見を「陽」に使ってよい
>っていうか「陽」につかわないって馬鹿？
ふっふ、ほっほ
下記のAI による概要で
”Theorem:
Let X and Y be metric spaces, S a subset of X, and f: S -> Y.
If f is uniformly continuous and Y is complete, then there exists a unique continuous extension of f to ¯S (the closure of S).
Furthermore, this extension is uniformly continuous.”と言ってますよ
”有界閉区間”の条件はありません！！ｗ ；ｐ）
＜キーワード＞
数学 距離空間 稠密 関数 一様連続 拡張
↓英訳
Mathematics Metric space Dense Function Uniform continuity Extension
↓検索 googleさん
AI による概要（AI responses may include mistakes. Learn more）
In the context of metric spaces, if a function f is uniformly continuous on a dense subset S of a complete metric space X, then f can be extended to a uniformly continuous function F defined on the entire space X. This theorem is a powerful tool for extending functions from dense subsets to the whole space while preserving uniform continuity, which is crucial in many mathematical applications.
Key Concepts and Definitions:
Metric Space:
A set equipped with a distance function (or metric) that satisfies certain properties.
Dense Subset:
A subset where every point in the larger space is either in the subset or can be approached arbitrarily closely by a point in the subset.
Uniformly Continuous Function:
A function where the distance between the function values of two points can be made arbitrarily small as long as the distance between the two points is small, regardless of where those points are in the domain.
Complete Metric Space:
A metric space where every Cauchy sequence (a sequence that gets arbitrarily close to each other) converges to a point in the space.
Theorem:
Let X and Y be metric spaces, S a subset of X, and f: S -> Y.
If f is uniformly continuous and Y is complete, then there exists a unique continuous extension of f to ¯S (the closure of S).
Furthermore, this extension is uniformly continuous.
つづく
271: 暇人 [] 06/29(日)15:57 ID:gukAFALT(4/12)
>>257
>n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
>いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして、Qに対して
> 「必要なだけの 1のn乗根 が 添加されている」とする立場と
>そうでない立場の2つの流儀があるのです
>前者の立場では、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
>2項方程式 x^k=a のガロア群(a正でa≠1、k≧2)の扱いが
>簡便になるのです
それ >>226の以下の補題の「さらに」以下の三行のことな。
つまり、aが ζ_niを使って表せる。
「補題（巡回拡大のべき根表示）：
Ki+1/Ki が位数 ni の巡回ガロア拡大であるとき、
Ki+1=Ki(α) であり、α^ni∈Ki となる α が存在する
（つまり、α は Ki 上のべき根）。
さらに、Ki が１の原始 ni 乗根 ζ_ni を含む場合、
拡大はクンマー拡大（Kummer extension）として記述でき、
α^ni=a( a ∈ K_i ）の形の解を持つ。」
でもこの段階ではζ_niが陽に現れ、消せてない。
実はζ_niも、ni＞mなるζ_mを使って表したbに関して
β^ｍ=bとなるβを基礎体Ｋに添加した体K(β)の元となる。
そして、ζ_mについてさらに同様のことを繰り返していけば
最終的にζ_2=-1に至り、これは体の要素であるので
結局基礎体の要素とべき根だけで表せてしまう。
君、ここまで考えた？全然考えてないだろ？
それじゃ意味ないじゃん。
> 一般の5次方程式が、冪根で解けないことの議論なら、これで間に合う
それを世間では「わかったつもり」という
そんな程度の好奇心しかないなら数学やめな 無駄だから
囲碁でも将棋でもやってれば？ でもそれじゃAIに勝てないけど
全然違うことやったほうがいい 君、考えることが不得意だから
IQ高くないだろ 100程度？ それ平均
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