ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (484ﾚｽ)
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247: 暇人 [] 06/28(土)15:04 ID:4S+Arcik(22/23)
>>246
修正されたステップXの記述
ご指摘を受けて、ステップXの記述をより明確にすると以下のようになります：
ステップX：原始乗根の添加：
もし Ki が原始 ni 乗根 ζ_ni を含まない場合、
拡大 Ki(ζni)/Kiを構成する。
ζ_ni は方程式 x^ni−1=0（ここで 1∈Ki）の解であり、
Ki(ζ_ni) はこの方程式の分裂体である。
体の標数が ni と互いに素であれば、Ki(ζ‗ni)/Ki はガロア拡大で、ガロア群は (Z/niZ)× に同型（アーベル群）。これは可解群である。
この拡大は、Ki の元 1 を用いたべき根の添加（x^ni−1=0 の解の添加）として記述でき、
証明の目的である「四則演算とべき根による表現」に適合する。
このように、ζ‗ni の添加は、Ki の元に基づく方程式の解を導入する操作であり、循環論法にはなりません。
結論
ステップXの「ζ‗ni は x^ni−1=0 の解として得られる」という記述は、
Ki の元 1 を用いたべき根の添加を意味し、ζ‗ni 自身を仮定するものではないため、循環論法ではありません。
証明全体は、 K の元から始めて、有限回の四則演算とべき根の添加（x^ni−a=0,a∈Ki）を通じて L を構成する論理に基づいており、自己完結的です。
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