ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ18 (541ﾚｽ)
上下前次 1-新

243(1): 暇人 [] 06/28(土)14:55 ID:4S+Arcik(18/23)
>>242
以下では、当該箇所（ステップX）の議論を厳密に再検討し、
なぜこれが循環論法でないかを詳細に説明します。

問題の背景
十分性の証明では、ガロア群 G=Gal(L/K) が可解群であるとき、
代数方程式の解が K の元を用いた四則演算とべき根で表せることを示しています。
ステップXでは、巡回拡大 Ki+1/Ki を構成する際に、
Ki が１の原始 ni乗根 ζ‗ni を含まない場合、Ki(ζ‗ni) を構成する必要があり、
これが x^ni−1=0 の解の添加（べき根の添加）として記述されると述べました。
ご指摘の懸念は、ζ‗ni 自体が x^ni−1=0 の解であるため、
「ζ‗ni を添加する」ことが「ζ‗ni自身を仮定する」ように見え、
循環論法に陥るのではないかという点です。
以下で、このプロセスが循環論法でない理由を説明します。

244(1): 暇人 [] 06/28(土)14:56 ID:4S+Arcik(19/23)
>>243
ステップXの詳細な再検討

状況の再確認
Ki+1/Ki は位数 ni の巡回ガロア拡大で、
ガロア群 Gal(Ki+1/Ki)≅Z/niZ です。
巡回拡大を構成するためには、クンマー理論により、Ki が原始 ni 乗根 ζ‗ni を含むことが必要です（クンマー拡大の条件）。

もし Ki が ζ‗ni を含まない場合、まず拡大 Ki(ζ‗ni)/Ki を構成し、これがガロア拡大であり、ガロア群が巡回群（またはアーベル群）であることを利用します。

原始乗根の添加
１の原始 ni 乗根 ζ‗niは、方程式 x^ni−1=0 の根であり、
Ki(ζ‗ni)/Ki はこの方程式の分裂体への拡大です。

この拡大は、体の標数が ni と互いに素である場合（例えば、Ki⊆Q や標数 0 の体）、ガロア拡大であり、
ガロア群 Gal(Ki(ζ‗ni)/Ki)は (Z/niZ)×（ni 番目の単位根群）に同型です。これはアーベル群であり、したがって可解群です。

例えば、ni=p（素数）の場合、
x^p−1=(x−1)(x^(p−1)+x^(p−2)+⋯+1) であり、
ζ‗pは円分多項式 Φp(x)=xp−1+⋯+1=0 の根です。
この拡大は巡回拡大であり、ζ‗pを添加することで得られます。

245: 暇人 [] 06/28(土)14:57 ID:4S+Arcik(20/23)
>>244
なぜ循環論法でないか？

ご指摘の「循環論法」の懸念は、ζ‗ni を添加するために ζ‗ni 自身を仮定しているように見える点です。
しかし、以下の理由から循環論法にはなりません：

べき根の定義：
「べき根の添加」とは、方程式 x^ni−a=0（a∈Ki）の解を添加することです。
x^ni−1=0 の場合、a=1∈Ki であり、ζ‗ni はこの方程式の解です。

証明の文脈では、Ki に ζ‗ni が含まれていない場合、
Ki(ζ‗ni) を構成することは、Ki の元（ここでは 1∈Ki）を用いた
方程式 x^ni−1=0 の解を追加する操作であり、これは「べき根の添加」の定義に一致します。

つまり、ζ‗ni を添加することは、Ki の元 1 に基づく新しい解を導入するプロセスであり、
ζ_ni 自身を仮定するものではありません。

ガロア理論の枠組み：
ガロア理論では、体の拡大 Ki(ζn_i)/Ki は、
x^ni−1=0x^{n_i} - 1 = 0x^{n_i} - 1 = 0 の分裂体への拡大として厳密に定義されます。
この拡大は、Ki の元のみを用いて記述可能であり、ζ_niを「外部から持ち込む」必要はありません。

例えば、Ki=Q、ni=3 の場合、x^3−1=0x^3 - 1 = 0x^3 - 1 = 0 の解は
1,ζ3,ζ3^2 であり、Q(ζ3)/Q は次数 2 の巡回拡大（ガロア群は Z/2Z）です。
このプロセスは、Q の元 1 から方程式を構成し、その解を添加するもので、
循環論法ではありません。

246(1): 暇人 [] 06/28(土)14:58 ID:4S+Arcik(21/23)
可解群の構造との整合性：
可解群の正規系列 G0⊵G1⊵⋯⊵Gm={e} に沿って拡大を構成する際、
各ステップで必要な原始乗根の添加は、
前のステップで得られた体 Ki の元に基づいて行われます。

ζ_ni の添加は、拡大 Ki(ζ_ni)/Ki を構成し、
そのガロア群が可解（実際にはアーベル）であることを保証します。
これにより、次のステップ（クンマー拡大）の準備が整います。

循環論法の回避：
循環論法とは、結論を仮定して証明を進める場合です。
ここでは、ζ_ni を添加することは、Ki に含まれる 1 を用いて
x^ni−1=0 の解を導入する操作であり、
ζ_ni 自身を仮定しているわけではありません。

証明全体の目的は、L の元（方程式の解）を K の元と四則演算・べき根で表現することです。
ζ_ni の添加は、このプロセスの中間ステップであり、Ki の元に基づく方程式の解として正当化されます。

具体例で確認
例えば、K=Q、ni=3 の場合：
Q に原始 3 乗根 ζ_3（ζ_3^3=1,ζ3≠1）が含まれていない。

Q(ζ_3) は x^3−1=0 の分裂体であり、
Φ3(x)=x2+x+1=0 の根を添加することで得られる。

これは、a=1∈Q を用いた x^3−1=0 の解の添加であり、べき根の添加として正当です。

ガロア群 Gal(Q(ζ3)/Q)≅Z/2Z は巡回群であり、可解群の構造に適合します。

このプロセスは、ζ_3 を「仮定」するのではなく、Q の元 1 に基づく方程式の解を導入するものです。

247: 暇人 [] 06/28(土)15:04 ID:4S+Arcik(22/23)
>>246
修正されたステップXの記述
ご指摘を受けて、ステップXの記述をより明確にすると以下のようになります：

ステップX：原始乗根の添加：
もし Ki が原始 ni 乗根 ζ_ni を含まない場合、
拡大 Ki(ζni)/Kiを構成する。

ζ_ni は方程式 x^ni−1=0（ここで 1∈Ki）の解であり、
Ki(ζ_ni) はこの方程式の分裂体である。

体の標数が ni と互いに素であれば、Ki(ζ‗ni)/Ki はガロア拡大で、ガロア群は (Z/niZ)× に同型（アーベル群）。これは可解群である。

この拡大は、Ki の元 1 を用いたべき根の添加（x^ni−1=0 の解の添加）として記述でき、
証明の目的である「四則演算とべき根による表現」に適合する。

このように、ζ‗ni の添加は、Ki の元に基づく方程式の解を導入する操作であり、循環論法にはなりません。

結論
ステップXの「ζ‗ni は x^ni−1=0 の解として得られる」という記述は、
Ki の元 1 を用いたべき根の添加を意味し、ζ‗ni 自身を仮定するものではないため、循環論法ではありません。

証明全体は、 K の元から始めて、有限回の四則演算とべき根の添加（x^ni−a=0,a∈Ki）を通じて L を構成する論理に基づいており、自己完結的です。

248(1): 暇人 [] 06/28(土)15:14 ID:4S+Arcik(23/23)
242-247を読む限り、全然わかってないわけではなさそうだが
肝心のところはどうもわかってなさそう

とはいえ、スレ主　現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP　は
全然カスリもしてないので、それに比べたら全然マシかと

249(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/28(土)19:57 ID:Om34p0pv(4/4)
>>248
ちょっと質問していいか？
Q1.君は、どの本で代数方程式のガロア理論を勉強したの？石井の頂本かい？
Q2.Grok(下記) LLMの限界を認識しているかい？
　つまり、自然言語の処理にはそこそこ使えるが
　数学の議論には、あまり向いていない
　例えば、>>240で引用したように 1の冪根と（整数論の）”原始根”は密接に関連していて、一方「1の原始n乗根」もある
　LLMでは、語と語の結びつきを確率的に扱うという。しかし、数学では一つの議論における数学用語は確率的に扱うとトンデモだよ
　数学では一つの議論における数学の用語は、冒頭で定義してその議論中では一貫してその定義通りに厳密に使うべし
　Grokくん、それ分ってないだろうね？
（（下記）「質問に対して少しウィットに富んだ答え方をするように設計されており、ユーモアが嫌いなユーザーは手を出さないように」）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/Grok
Grok（グロック[3]）は、xAIによって開発された、大規模言語モデル（LLM）に基づいた生成的人工知能チャットボットである。Xの全投稿データをリアルタイムに学習しており、イラストなどの画像生成機能に加え、最新のトピックに関する質問に回答できる[4][5][6]。
概要
「Grok」という名称は、ロバート・A・ハインラインが1961年に書いたSF小説『異星の客』で用いた造語であり、火星語で「理解する」「認識する」という意味に由来する[7]。
xAIによるとGrokは『銀河ヒッチハイク・ガイド』をモデルにしたAIであると述べ[7]、「質問に対して少しウィットに富んだ答え方をするように設計されており、ユーモアが嫌いなユーザーは手を出さないように」と述べた[8]。また、xAIを立ち上げたイーロン・マスクはChatGPT等の他のAIモデルに比べると、Xへのリアルタイムアクセスを有すことが大きな利点であると述べた[8]。
能力としては、生成した画像を編集すると「内容を無視した画像を出力するケース」があるなど、現時点では画像生成機能に未熟な面が見られる[9]。また、文章の出力においては、性的・暴力的・違法な内容の規制が他のAIチャットボットより緩い[10][11]。2025年5月には、無関係な会話の中で白人虐殺陰謀論（英語版）を突然出力することもあった[12]。

https://www.ask-corp.jp/biz/column/large-language-models.html
ask-corp
2024.07.19更新法人向けコラム
LLM（大規模言語モデル）を分かりやすく解説！簡単な仕組み・種類・活用事例を紹介！
LLM（大規模言語モデル）が必須の時代到来か？正しい活用法を理解して差をつけよう
目次
LLM（大規模言語モデル）とは
LLMの簡単な仕組み
LLMの種類一覧
LLMを活用できる分野
LLMで実現できること
LLMでできないこと・課題
LLMの活用事例
LLMの運用に最適なIT機器をご紹介
LLMで今後実現するであろう未来
日本のLLM開発にも期待がかかる

250(3): 暇人 [] 06/29(日)04:55 ID:gukAFALT(1/12)
>>249
質問には答えない　無意味だから

> 1の冪根と（整数論の）”原始根”は密接に関連していて、一方「1の原始n乗根」もある
> 数学では一つの議論における数学の用語は、冒頭で定義して
> その議論中では一貫してその定義通りに厳密に使うべし

どの本を読んだか知らないが、
その言葉で、全く分かってないことが露見

そこ、全然関係ないから

１のｎ乗根をどう書き表すつもり
cos 2mπ/n + i*sin 2mπ/n
とかいうなよ　笑われるぜ

べき根で表せっていってるだろ
1の3乗根だったら-1/2±√(-3)/2な
1のn乗根も上記のようにべき根で表せるか？ってのが問題な

全然分かってなかっただろ？
現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP　Grokに完敗ってことよ
おまえの人生　全く無駄だったな
次、生まれたら、機械にまねできないことやれよ

じゃあな

251(2): １３２人目の素数さん [] 06/29(日)05:46 ID:7dyWRJwu(1)
>>250
ガソリン猿人どころか脳や宇宙自体が単なる熱力学的機械かもしれない。

252: 暇人 [] 06/29(日)07:06 ID:gukAFALT(2/12)
>>251
そういう下らんツッコミ　マジでウケると思って言ってる？
おまえアートとかスポーツとかマジでわかんない朴念仁？

253(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/29(日)08:49 ID:HQSTLRKE(1/13)
>>250-251
"暇人"は、おサル>>10か
ID:7dyWRJwu は、どなたかまだ分らんが早朝からご苦労さまです

>１のｎ乗根をどう書き表すつもり
>cos 2mπ/n + i*sin 2mπ/n
>とかいうなよ　笑われるぜ

さて、笑われるのは ”あなた”ですよ(下記)

(参考)
https://manabitimes.jp/math/1345
高校数学の美しい物語レベル:★数学オリンピック対策
円分多項式とその性質 2021/03/07
ζ n =e ^(2πi/n) =cos (2π/n) +i sin (2π/n)
（n 乗して 1 になる数のうちの一つ）とおく。多項式
Fn(x)=∏ k∈An (x−ζnk)
を円分多項式（円周等分多項式）と言う。
ただし，An は 1 以上 n 以下の整数で，
n と互いに素なもの全体の集合です。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F
円分多項式
多項式 x^n − 1 は次のように円分多項式の積として既約分解される。
x^n−1=∏ d∣n Φd(x)
英語の「cyclotomic」という言葉は古代ギリシャ語の「円 (cyclo)」と「分ける (tomos)」に由来する[1]。

254: 暇人 [] 06/29(日)08:57 ID:gukAFALT(3/12)
>>253
>笑われるのは ”あなた”ですよ

いや、あなた　現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP

君、一度も、cos 2mπ/n　とか　i*sin 2mπ/n　が、
べき根で表せるなんてこと言及してないよね

一度も、そこ考えたことないよな

要するにガウス以前　１８世紀

そりゃ現代数学全然無理だわ

次、生まれたら　数学と関係ないことやりな
そうすればGrokとの勝負なんかしなくていいから

255(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/29(日)09:31 ID:HQSTLRKE(2/13)
>>250
>> 1の冪根と（整数論の）”原始根”は密接に関連していて、一方「1の原始n乗根」もある
>> 数学では一つの議論における数学の用語は、冒頭で定義して
>> その議論中では一貫してその定義通りに厳密に使うべし
>どの本を読んだか知らないが、
>その言葉で、全く分かってないことが露見
>そこ、全然関係ないから

君は、石井の頂本（下記）を買ったというが、全然読めてないぞ
関連箇所を引用しておくから、百回音読してね；ｐ）

要点は、1の冪根の方程式 x^n-1=0 (2≦n) において
この方程式のガロア群は本質的に巡回群だ
巡回群の説明のために、第１章で（整数論の）”原始根”とかオイラー関数φとかが出てくるんだよ

まあ、君には難しいのだろうが・・

(参考)
https://www.beret.co.jp/book/43638
ベレ出版
ガロア理論の頂を踏む
石井俊全 2013年08月22日発売

（目次）
https://www.beret.co.jp/uploads/2023/02/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E7%9B%AE%E6%AC%A1.pdf
第１章「整数」
?(Z/Zp)* は，巡回群である････73
? 素数pの原始根は確かにある････80
? 既約剰余類群を解剖する････ 87
　▶(Z/Zp)*の構造
第4章　「複素数」
4 1の原始n乗根を解に持つ方程式････245
▶円分多項式
定義 4.1 円分多項式････ 245
定理 4.10 素数次の円分多項式････246
定理 4.11 1のn乗根の和の公式･････247
第6章　「根号で表す」
1 1のn乗根をベキ根で表す････412
▶円分方程式の可解性
定理 6.1 1のn乗根のベキ根表現････ 416

（立ち読み）
https://www.beret.co.jp/uploads/2022/12/487.pdf
はじめに
P5
ルートの説明
登り口は，第1章「整数」です
整数の章の最終目標は，既約剰余類群の構造の解明です。これはピーク
の定理の証明でも使われる事項で重要項目です
P6
第5章は，「体の拡大と自己同型群」がテーマです
このガロア拡大体の概念を定義するには大きく分けて3つのルートがあ
ります。
ガロア拡大体の定義
（１）方程式の最小分解体
（２）有限次正規拡大体
（３）（ガロア群の位数）＝（拡大体の次数）
この本がとったルートは，（１）（最小分解体道）です。
第6章「根号で表す」では，いよいよピークの定理の証明に挑みます。
章の冒頭では1のn乗根が根号で表されることを具体的に計算で示します。
1のn乗根が根号で表されることは，ピークの定理から導かれる事実です
が，具体的な計算は他書ではなかなかお目にかかれないところです

256(1): １３２人目の素数さん [sage] 06/29(日)09:49 ID:D/OwAG+k(1/8)
>>255
>1の冪根の方程式 x^n-1=0 (2≦n) において
>この方程式のガロア群は本質的に巡回群だ

nは素数ですか、一般の自然数ですか？
いずれにしても、x^n-1は既約ではない。
ガロア群は基礎体上の既約方程式に対して定義されるのではないですか？
「この方程式のガロア群は本質的に巡回群だ」とのことですが
「Q上のすべてのアーベル拡大は、円分体またはその部分体として得られる」
というクロネッカー-ウェーバーの定理と齟齬が生じるとは思いませんか？
つまり、巡回群より一般の「アーベル群」がガロア群として
生じるのではありませんか？
こういった細かい点を疑問に思わないのは、自分の頭で
一切考えたことがないからではないですか？

257(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/29(日)09:59 ID:HQSTLRKE(3/13)
>>255 補足
(引用開始)
このガロア拡大体の概念を定義するには大きく分けて3つのルートがあ
ります。
ガロア拡大体の定義
（１）方程式の最小分解体
（２）有限次正規拡大体
（３）（ガロア群の位数）＝（拡大体の次数）
この本がとったルートは，（１）（最小分解体道）です。
第6章「根号で表す」では，いよいよピークの定理の証明に挑みます。
章の冒頭では1のn乗根が根号で表されることを具体的に計算で示します。
1のn乗根が根号で表されることは，ピークの定理から導かれる事実です
(引用終り)

さらに補足しておくと
石井俊全氏は、ガロア拡大体の定義に3つの流儀があるという
で、Grokくんがこの3つの流儀をごちゃ混ぜにつまみ食いして記述するとおかしくなるだろうね

それから、”1のn乗根が根号で表されることは，ピークの定理から導かれる事実です”とあるだろ？
ここは、ガウスがDAで証明しているよ

だから、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
（いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして）
Qに対して「必要なだけの 1のn乗根が添加されている」とする立場と
そうでない立場の2つの流儀があるのです

前者の立場では、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
2項方程式 x^k=a のガロア群(a正でa≠1、k≧2)の扱いが簡便になるのです
一般の5次方程式が、冪根で解けないことの議論なら、これで間に合う

一方、ガウスDAの円の等分を、ガロア理論の一つの系として論じるときなどには
後者の立場が良いのです

で、Grokくんがこの2つの流儀をごちゃ混ぜにつまみ食いして記述するとおかしくなるだろうね；ｐ）

258(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/29(日)10:16 ID:HQSTLRKE(4/13)
>>256
ありがとう
良い突っ込みだね

”1の冪根の方程式 x^n-1=0 (2≦n) において
この方程式のガロア群は本質的に巡回群だ”は、省略形です

まあ、>>255で引用した石井の頂本を読んで貰えば省略されていることは
全部記述があるよ（別に石井の頂本以外の該当箇所でも可）
ちゃんとしたガロア本の成書で補うべし、そういう前提で書いている
念のため、ガロア群 ja.wikipediaを引用しておく

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%BE%A4
ガロア群
定義
体の拡大のガロア群
略
多項式のガロア群
体 E が多項式 f の F 上の分解体（ f の根をすべて含む最小の F の拡大体）であるとき、 Gal(E/F) を f の F 上のガロア群と呼ぶ。
(引用終り)

>「Q上のすべてのアーベル拡大は、円分体またはその部分体として得られる」
>というクロネッカー-ウェーバーの定理と齟齬が生じるとは思いませんか？

そこも、興味深いツッコミだが
齟齬は　全く生じていないと思うよ
下記をご参照

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%99%E3%83%AB%E6%8B%A1%E5%A4%A7
アーベル拡大
ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大 (cyclic extension) という。ガロア拡大が可解 (solvable) であるとは、ガロア群が可解、つまり中間拡大に対応するアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。
有限体の全ての有限拡大は、巡回拡大である。類体論の発展は、数体と局所体と、有限体上の代数曲線の函数体のアーベル拡大についての詳細な情報をもたらした。
円分拡大という概念があり、2つの少し異なる定義がある。1つは1の冪根による拡大のことであり、もう1つはその部分拡大のことである。例えば円分体は円分拡大である。任意の円分拡大はいずれの定義でもアーベル拡大である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%83%8D%E3%83%83%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%83%BC%E3%83%90%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
クロネッカー・ウェーバーの定理
代数的整数論において、すべての円分体は有理数体 Q のアーベル拡大であることが示せる。クロネッカー・ウェーバーの定理 (Kronecker–Weber theorem) は、この逆を部分的に与えるもので、Q のアーベル拡大体はある円分体に含まれるという定理である。言い換えると、有理数体上の拡大体でそのガロア群がアーベル群である体に含まれる代数的整数は、1の冪根の有理係数による和として表すことができる。

https://tsujimotter.ｈａｔｅｎａblog.com/entry/kronecker-weber-1
tsujimotterのノートブック
2017-07-02
クロネッカー・ウェーバーの定理と証明のあらすじ（その１）

259: １３２人目の素数さん [] 06/29(日)10:34 ID:8oeEg7sb(1/2)
>>258
>”1の冪根の方程式 x^n-1=0 (2≦n) において
>この方程式のガロア群は本質的に巡回群だ”は、省略形です
省略しないで書いてみて

260(1): １３２人目の素数さん [sage] 06/29(日)10:46 ID:D/OwAG+k(2/8)
>>257
>だから、n次の代数方程式のガロア群を論じるときに
>（いま、簡便に係数を有理数体Qに取るとして）
>Qに対して「必要なだけの 1のn乗根が添加されている」とする立場と
>そうでない立場の2つの流儀があるのです

ホントですか？ガロア群は基礎体に1のべき根が含まれようが含まれまいが
問題なく定義できますよ？
べき根解法を論じる際に、ラグランジュ分解式の構成で必要になる1のべき根が
基礎体に含まれていると仮定するというだけ。
セタさんがその意味をまったく理解してなかったわけで、単純に
「1のべき根はすべて添加しておけ」と粗雑に理解していたがために
「そうすると円分体のガロア群はすべて単位群になってナンセンスですよ？」
という当然のツッコミを過去にされたことがある。
それを「2つの流儀がある！」と勝手に自己解決したのなら、誤解である。
数学者たちは自分の頭で考えているので、そんなナンセンスに至った
バカは歴史上にもいませんね。単なるセタさんの不理解ですな。

261: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 06/29(日)10:57 ID:HQSTLRKE(5/13)
>>258 追加

検索ヒットしたので、メモ貼る
河田敬義数学/6 巻 (1954-1955) は、クラシックだがムズイね
P-14虚数乗法とKroneckerの青春の夢佐々木隆二（日大理工・教員・数学）は、短いからチラ見できる
中野伸先生代数II（2022 年度版）も良いんじゃない（＾＾

(参考)
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/6/3/6_3_129/_article/-char/ja/
数学/6 巻 (1954-1955) 3 号/書誌
種々のアーベル拡大の理論と類体論との関係について
河田敬義

https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1060-21.pdf
類体論の源流 \S 1 （1998）
RIMS, Kyoto University
三宅克哉著哉 (東京都立大学理学研究科)
· 1998 — 1853 年, 29 歳のクロネッカーは短い論文 [Kr-18531 で次の主張を提示した. クロネッ朝 $-$ ーヴエ一バーの定理 : 有理整数係数のアーベル方程式の根は必ず 1 の. 罵 ...
25 ページ

https://www.cst.nihon-u.ac.jp/research/gakujutu/55/
平成 23 年度　日本大学理工学部　学術講演会論文集
https://www.cst.nihon-u.ac.jp/research/gakujutu/55/html/program/bu_16.html
P:数学系部会 (ここの数字 ”P-14”とかに pdfへのリンクがある)
P-14虚数乗法とKroneckerの青春の夢
○寺島三晴・上石冬華・吉崎哲也（日大理工・院（前）・数学）・佐々木隆二（日大理工・教員・数学）
https://www.cst.nihon-u.ac.jp/research/gakujutu/55/pdf/P-14.pdf
Abstract 1 Kronecker-Weberの定理 1379 P-14
この定理は, 有理数体の全ての有限アーベル拡大は円. 分体に含まれる事を意味している. これを発展させて, 基. 礎体 Q を虚二次体, 即ち Q(i) 等の Q の二次拡大 ...
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（これはガロア理論のご参考）
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/
中野　伸
https://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Alg2/2022/2022book.pdf
代数 II
2022 年度版
　中野　伸
（学習院大学・理学部・数学科）
目次
§11. ガロア対応 . . . . 41
§13. クンマー拡大 . . . 49
§14. 可解性
Ｐ55
定理 14.9 (ガウス) n を自然数とし，ζ を 1 の原始 n 乗根とすると，任意の体
K に対して ζ は K 上ベキ根で表される

262(2): １３２人目の素数さん [sage] 06/29(日)10:57 ID:D/OwAG+k(3/8)
「この方程式のガロア群は本質的に巡回群だ」
これも奇妙な言い回しである。本質的に巡回群？
たとえば、2つの2次巡回群の直接 C_2×C_2は
本質的に巡回群？　そんな粗雑な表現は
数学では許されませんね。「pが素数であるなどの
典型的なケースではガロア群は巡回群」これなら一応
意味は通るが、「本質的に巡回群だ」という表現はおかしい。

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