大学数学の質問スレ Part1 (282ﾚｽ)
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23: １３２人目の素数さん [] 2025/06/08(日) 04:10:19.60 ID:5glNS3uF Σ x_n を s に収束する正項級数とする。 φ: N → N を全単射とする。 Σ x_φ(n) は s に収束する。 ↑は既知とする。 Σ x_n を絶対収束級数とする。 Σ x_n は収束する。 証明： N_1 := {i ∈ N : x_i ≧ 0} N_2 := {i ∈ N : x_i < 0} とする。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/23
24: １３２人目の素数さん [] 2025/06/08(日) 04:10:33.88 ID:5glNS3uF Σ_{n ∈ N_1} x_n は、正項級数だから意味を持つ。 Σ_{n ∈ N_2} x_n は、負項級数だから意味を持つ。 どちらの級数も Σ x_n が絶対収束級数だから収束する。 s_1 := Σ_{n ∈ N_1} x_n とする。 s_2 := Σ_{n ∈ N_2} x_n とする。 ε を任意の正の実数とする。 N_1 の部分集合 M_1 で、 M_1 ⊂ M ⇒ |Σ_{n ∈ M} x_n - s_1| < ε/2 となるようなものが存在する。 N_2 の部分集合 M_2 で、 M_2 ⊂ M' ⇒ |Σ_{n ∈ M'} x_n - s_2| < ε/2 となるようなものが存在する。 N_1_n := {i ∈ {1, 2, …, n} : x_i ≧ 0} N_2_n := {i ∈ {1, 2, …, n} : x_i < 0} とする。 M_1 ⊂ N_1_n、M_2 ⊂ N_2_n をみたすような n ∈ N が存在する。 Σ_{i ∈ {1, 2, …, n} x_i = Σ_{i ∈ N_1_n} x_i + Σ_{i ∈ N_2_n} x_i である。 |Σ_{i ∈ {1, 2, …, n} x_i - (s_1 + s_2)| ≦ |Σ_{i ∈ N_1_n} x_i - s_1| + |Σ_{i ∈ N_2_n} x_i - s_2| < ε が成り立つ。 明らかに、 n よりも大きい任意の自然数を n としたときにもこの不等式は成り立つ。 よって、 Σ x_n は収束する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/24
25: １３２人目の素数さん [] 2025/06/08(日) 04:11:04.67 ID:5glNS3uF ↑の証明ってどうですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/25
26: １３２人目の素数さん [] 2025/06/08(日) 13:54:46.05 ID:5glNS3uF 一松信著『解析学序説上巻（旧版）』 べき級数の微分積分のところで、 「 f^{m}(x) = m! * a_m + (m + 1)! * a_{m + 1} * (x - a) + (1/2) * (m + 2)! * a_{m + 2} * (x - a)^2 + … 右辺の表わす函数は連続だから、 x → a とした極限は、 x = a とおいたものに等しく、 f^{m}(a) = m! * a_m となり 」 という記述があります。 間違ってはいませんが、単に f^{m}(x) = m! * a_m + (m + 1)! * a_{m + 1} * (x - a) + (1/2) * (m + 2)! * a_{m + 2} * (x - a)^2 + … の x に a を代入して、 f^{m}(a) = m! * a_m という結果を得ればいいのではないでしょうか？ 新版でも同様の記述があります。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1748224638/26
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