フェルマーの最終定理の証明 (843ﾚｽ)
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795: １３２人目の素数さん [] 09/07(日)11:01 ID:g2aKRGvd(1/4)
y_s=1/(D+i) (2i/(e^2ix+1)^2 )=e^(-ix) 1/D e^ix 2i/(e^2ix+1)^2 =e^(-ix) ∫(2ie^2ix)/(e^2ix+1)^2 dx
t=e^2ix+1 dt=2ie^2ix dx dx=dt/(2ie^2ix )
∫?(2ie^2ix)/(e^2ix+1)^2 dx?=∫?(2ie^2ix)/t^2 dt/(2ie^2ix )?=∫t^(-2) dt=-1/t=-1/(e^2ix+1)
y_s=e^(-ix) ∫(2ie^2ix)/(e^2ix+1)^2 dx=-e^(-ix)/(e^2ix+1)
=(- e^(-ix) (e^(-ix)+e^ix-e^ix ))/(e^(-ix) (e^2ix+1) ) =(- e^(-ix) (e^(-ix)+e^ix )+1)/(e^ix+e^(-ix) )
=- e^(-ix)+1/(e^ix+e^(-ix) )=- e^(-ix)+1/2cos(x)
y=C_1 cos(x)+C_2 sin(x)- e^(-ix)+1/2cos(x)
=C_1 cos(x)+C_2 sin(x)- cos(x)+isin(x)+1/2cos(x)
=(C_1-1)cos(x)+(C_2+i)sin(x)+1/2cos(x)
=Acos(x)+Bsin(x)+1/2cos(x)
y_s=1/2cos(x)
y=C_2 cos(x)+C_1 sin(x)- 1/2 cos(2x) 1/cos(x)
=C_2 cos(x)+C_1 sin(x)- 1/2 (2?cos?^2 (x)-1) 1/cos(x)
=C_2 cos(x)+C_1 sin(x)- (?cos?^2 (x)-1/2)/cos(x)
=C_2 cos(x)+C_1 sin(x)- cos(x)+1/2 1/cos(x)
=(C_2-1)cos(x)+C_1 sin(x)+1/2cos(x)
=Acos(x)+Bsin(x)+1/2cos(x)
796: １３２人目の素数さん [] 09/07(日)11:01 ID:g2aKRGvd(2/4)
D^2+1)y=1/(?cos?^3 (x) )
(D^2+1)y=0
λ^2+1=0 λ=0±i
y_0=e^(-0) (C_1 cos(x)+C_2 sin(x))=C_1 cos(x)+C_2 sin(x)
cos(x)=((e^ix+e^(-ix))/2)
1/(cos^3(x))=(2/(e^ix+e^(-ix) ))^3=8/(e^ix+e^(-ix) )^3
(D^2+1) y_s=8/(e^ix+e^(-ix) )^3
(D+i)(D-i) y_s=8/(e^ix+e^(-ix) )^3
y_s=(1/(D+i))(1/(D-i)) 8/(e^ix+e^(-ix) )^3
1/(D-i) 8/(e^ix+e^(-ix) )^3 =8e^ix 1/D e^(-ix) 1/(e^ix+e^(-ix) )^3
=8e^ix ∫e^(-ix)/(e^ix+e^(-ix) )^3 dx
e^(-ix)/(e^ix+e^(-ix) )^3 =(e^3ix e^(-ix))/(e^3ix (e^ix+e^(-ix) )^3 )=e^2ix/((e^ix )^3 (e^ix+e^(-ix) )^3 )
=e^2ix/(e^ix (e^ix+e^(-ix) ))^3 =e^2ix/(e^2ix+1)^3
∴1/(D-i) 8/(e^ix+e^(-ix) )^3 =8e^ix ∫e^(-2ix)/(e^2ix+1)^3 dx
t=e^2ix+1 dt=2ie^2ix dx dx=dt/(2ie^2ix )
∫(8e^2ix)/(e^2ix+1)^3 dx=∫(8e^2ix)/t^3 dt/(2ie^2ix )=∫4/t^3 dt/i
=-∫4i/t^3 dt=-4i∫t^(-3) dt =-4i ?-t?^(-2)/2=2it^(-2)
=2i/(e^2ix+1)^2
797: １３２人目の素数さん [] 09/07(日)11:02 ID:g2aKRGvd(3/4)
∫[0→π/2]( tan(x) )^(1/n) dx (n≧2)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx を求める。
t=?sin?^2 x=(sin(x))^2
?sin?^2 x=1-?cos?^2 x ?cos?^2 x=1-t
dt=2sin(x)cos(x)dx=2√t √(1-t) dx
dx=dt/(2√t √(1-t))=(t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt
(sin(x))^(1/n)=(√t)^(1/n)=t^(1/2n) (cos(x))^(1/n)=(√(1-t))^(1/n)=(1-t)^(1/2n)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx=∫_0^(π/2)?( (sin(x))^(1/n))/( (cos(x))^(1/n) ) dx=∫_0^(π/2)?( t^(1/2n))/(1-t)^(1/2n) (t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt
=1/2 ∫_0^(π/2)???t^(1/2n) (1-t)^(-1/2n) t?^(-1/2) (1-t)^(-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2n-1/2) (1-t)^(-1/2n-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
(1/2) B(1/2+1/(2n), 1/2-1/(2n))
= (1/2) Γ( 1/2+1/(2n) ) Γ( 1/2-1/(2n) ) / Γ( 1/2+1/(2n) + 1/2-1/(2n) )
= (1/2) Γ(z) Γ(1-z) / Γ(1)
= (1/2) ( π/sin(πz) ) / 0！
= π/( 2 sin(πz) )
= π/( 2 sin(π/2+π/(2n)) )
= π/( 2 cos(π/(2n)) ).
798: １３２人目の素数さん [] 09/07(日)23:57 ID:g2aKRGvd(4/4)
r↑(θ,φ) = ( asinθcosφ, asinθsinφ, acosθ )
∂r↑/∂θ↑= ( acosθcosφ, acosθsinφ, -asinθ ).
∂r↑/∂φ↑= ( -asinθsinφ, asinθcosφ, 0 ).
∂r↑ ∂r↑
──×──
∂θ ∂φ
= ( |acosθsinφ -asinθ| |-asinθ acosθcosφ| | acosθcosφ, acosθsinφ|
|asinθcosφ 0 |, | 0 -asinθsinφ|, |-asinθsinφ, asinθcosφ | )
= ( a^2sin^2θcosφ, a^2sin^2θsinφ, a^2cos^2φsinθcosθ+ a^2sin^2φsinθcosθ )
= ( a^2sin^2θcosφ, a^2sin^2θsinφ, a^2sinθcosθ ).
|∂r↑ ∂r↑|
|──×── | = √( a^4sin^4θcos^2φ + a^4sin^4θsin^2φ+ a^4sin^2θcos^2θ)
|∂θ ∂φ |
= √( a^4sin^4θ + a^4sin^2θcos^2θ)
= √( a^4sin^2θ(sin^θ + cos^2θ) )
= √( a^4sin^2θ) = a^2sinθ.
∬_S 1 dS
|∂r↑ ∂r↑|
= ∬_D |──×── |dθdφ
|∂θ ∂φ |
= a^2∬[D] sinθdθdφ
= a^2∫[0,2π]dφ∫[0,π]sinθdθ
= 4πa^2
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