フェルマーの最終定理の証明 (790ﾚｽ)
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500: １３２人目の素数さん [] 07/27(日)12:25 ID:PdhNF7gV(1/8)
∫_α^β??(x-α)^m (β-x)^n ? dx=m!n!/(m+n+1)! (β-α)^(m+n+1)
t=(β-α)x+α dt=(β-α)dx dx=dt/(β-α)
x:0→1 t:α→β
x=(t-α)/(β-α) 1-x=(β-α-(t-α))/(β-α)=(β-t)/(β-α)
∫_0^1?x^m (1-x)^n dx
=∫_α^β??((t-α)/(β-α))^m ((β-t)/(β-α))^n ? dt/(β-α)=∫_α^β?((t-α)^m (β-t)^m)/(β-α)^(m+n+1) dt
=1/(β-α)^(m+n+1) ∫_α^β??(t-α)^m (β-t)^m ? dt=m!n!/(m+n+1)!
∴∫_α^β??(x-α)^m (β-x)^n ? dx=m!n!/(m+n+1)! (β-α)^(m+n+1)
m=1,n=1⇒∫_α^β?(x-α)(x-β) dx=-∫_α^β?(x-α)(β-x) dx
=-1/6 (β-α)^3
m=2,n=1⇒∫_α^β?(x-α)(x-β) dx=-∫_α^β??(x-α)^2 (β-x) ? dx
=-1/12 (β-α)^4
m=2,n=2⇒∫_α^β??(x-α)^2 (x-β)^2 ? dx=∫_α^β??(x-α)^2 (β-x)^2 ? dx
=(2?2)/(5?4?3?2?1) (β-α)^5=1/30 (β-α)^5
501: １３２人目の素数さん [] 07/27(日)12:25 ID:PdhNF7gV(2/8)
Q? √(6&2^(2x^2+15)/x^(4x+30) ) (x=√2n, n?5) ･････(#12)
x=e^logx 2=e^log2
2^(2x^2+15) = ?(e^log2)?^(2x^2+15)=e^((2x^2+15)log2)
x^(4x+30)=?(e^logx)?^(4x+30)=e^((4x+30)logx)
ここで
(2x^2+15)log2 >(4x+30)logx (x?12) ･････(#14)
2^(2x^2+15)/x^(4x+30) =e^((2x^2+15)log2)/e^((4x+30)logx) =e^((2x^2+15)log2-(4x+30)logx)>e^0
√(6&2^(2x^2+15)/x^(4x+30) )>√(e^0 )=1
x=√2n?12 、つまりn?72
のとき(#15)は成り立つ。
37?n?71⇒n?73?2n
19?n?36⇒n?37?2n
10?n?18⇒n?19?2n
6?n?9⇒n?11?2n
n=4,5⇒n?7?2n
n=3⇒3?6?6
n=2⇒2?3?4
n=1⇒1?2?2
502: １３２人目の素数さん [] 07/27(日)12:26 ID:PdhNF7gV(3/8)
L[y^'' (t)]=s^2 Y(s)-sy(0)-y^' (0) =s^2 Y(s)-2s-4
L[?4y?^' (t)]=4(sY(s)-y(0))=4sY(s)-8
L[4y(t)]=4Y(s)
L[y^'' (t)]-L[?4y?^' (t)]+ L[4y(t)]
=s^2 Y(s)-2s-4-4sY(s)+8+4Y(s)
=Y(s)(s^2-4s+4)-2s+4
L[6te^2t ]=6L[t^1 e^2t ]=6 1!/(s-2)^2 =6/(s-2)^2 ( L[t^n e^at ]=n!/(s-a)^(n+1) )
Y(s)(s^2-4s+4)-2s+4=6/(s-2)^2
Y(s) (s-2)^2-2s+4=6/(s-2)^2
Y(s) (s-2)^2=6/(s-2)^2 +2(s-2)
Y(s)=6/(s-2)^4 +2/(s-2)
Y(s)= F(s-2)とおくと
F(s-2)=6/(s-2)^4 +2/(s-2)
∴F(s)=6/s^4 +2/s=3!/s^(3+1) +2/s
y(t)=L^(-1)[F(s-2)]=e^2t L^(-1) [F(s)] ( L^(-1) [F(s-a)]=e^at L^(-1) [F(s)])
=e^2t L^(-1) [3!/s^(3+1) +2/s] (L[t^n ]=n!/s^(n+1) )
=e^2t (t^3+2)
513: １３２人目の素数さん [] 07/27(日)20:17 ID:PdhNF7gV(4/8)
2=2?3?7
5≡1, 5^(2021^2021 )≡ 1^(2021^2021 )≡1 (mod 2) ･･････････?
5≡-1, 5^(2021^2021 )≡ (-1)^(2021^2021 )≡-1≡2 (mod 3)･･････････?
5^1≡5, 5^(2021^2021 ) (mod 7)
5^(7-1)≡5^6≡1 (mod 7)
t=2021^2021, 2021^t≡5^t (mod 7)
5^t= 5^(6k+r)=5^6k 2^r≡5^r (mod 7)
5^(2021^2021 )≡5^t (mod 7)
2021≡-1 (mod 6)
t=2021^2021≡(-1)^2021≡-1≡5 (mod 6)
5^5=3125=446?7+3≡3 (mod 7)
5^1≡5, 5^2≡4 (mod 7)
5^3≡20≡6 (mod 7)
5^5=5^2 5^3≡24≡3 (mod 7)
∴2021^(2021^2021 )≡5^(2021^2021 )≡5^5 ≡3 (mod 7)･･････････?
x≡ 2021^(2021^2021 ) とおくと
x≡1 (mod 2) ,21x≡21 (mod 42) ･･････････?
x≡2 (mod 3) ,14x≡28 (mod 42) ･･････････?
x≡3 (mod 7) , 6x≡18 (mod 42) ･･････････?
41x≡67 (mod 42)
42x≡42 (mod 42)
∴x≡-25≡17 (mod 42)
514: １３２人目の素数さん [] 07/27(日)20:18 ID:PdhNF7gV(5/8)
(x+1)^2020=(x+1)^(2?1010)=(x^2+2x+1)^1010 =((x^2+1)+2x)^1010
((x^2+1)+2x)^1010
=(x^2+1)^1010+1010(x^2+1)^1009 2x+(_1010^ )C_2 (x^2+1)^1008 (2x)^2+
?+1010(x^2+1) (2x)^1009+(2x)^1010
(2x)^1010以外の項はx^2+1の倍数なのでpを適当な整数とすると
((x^2+1)+2x)^1010=p(x^2+1)+(2x)^1010……?
(2x)^1010=(4x^2 )^505=((4x^2+4)-4)^505
((4x^2+4)-4)^505
=(4x^2+4)^505+505(4x^2+4)^504 (-4)+(_505^ )C_2 (4x^2+4)^1008 (-4)^2+
?+505(4x^2+4) (-4)^1009+(-4)^1010
(-4)^1010以外の項は4x^2+4の倍数なのでqを適当な整数とすると
((4x^2+4)-4)^505=q(4x^2+4)+(-4)^1010
=4q(x^2+1)+(-2)^505 2^505
=4q(x^2+1)-2^1010……?
??より
(x+1)^2020=p(x^2+1)+(2x)^1010
=p(x^2+1)+4q(x^2+1)-2^1010
=(x^2+1)(p+4q)-2^1010
515: １３２人目の素数さん [] 07/27(日)20:19 ID:PdhNF7gV(6/8)
∂u/∂t=(∂u^2)/(∂x^2 ) (0<x<1, t>0)
u_x (0,t)=u_x (1,t)=0 境界条件（断熱条件）
u(x,0)=δ(x-1/2) 初期条件
u(x,t)=X(x)T(t)
∂u/∂t=XT^'
∂u/∂x=TX^' (∂u^2)/(∂x^2 )=∂/∂x TX^'=TX^''
XT^'= TX^'' T^'/T=X^''/X
(T^' (t))/T(t) =(X^'' (x))/X(x)
T^'/T=X^''/X=μ
X^''/X=μ X^''-μX=0 ???
T^'/T=μ T^'=μT ???
516: １３２人目の素数さん [] 07/27(日)20:20 ID:PdhNF7gV(7/8)
x ?+ax ?+bx=0 ???
λ^2+aλ+b=0
λ=α, β ⇒ x= C_1 e^αt+C_2 e^βt
λ=α (重解) ⇒ x= C_1 e^αt+C_2 te^βt
λ=α±βi ⇒ x= e^αt (C_1 cos?(βt)+C_2 cos?(βt))
λ^2-μ=0
0^2-4(-μ)=4μ
(?@)μ>0のときλ=±√μなので
X= C_1 e^(√μ x)+C_2 e^(-√μ x)
X^'= C_1 √μ e^(√μ x)-C_2 √μ e^(-√μ x)
境界条件 u_x (0,t)=u_x (1,t)=0より
u_x (0,t)=X^' (0)= C_1 √μ e^0-C_2 √μ e^0=(C_1-C_2 ) √μ=0
μ>0なので
C_1-C_2=0 C_1=C_2
u_x (1,t)=X^' (1)= C_1 √μ e^√μ-C_2 √μ e^(-√μ)=(C_1 e^√μ-C_2 e^(-√μ) ) √μ=0
C_1=C_2なので
(C_1 e^√μ-C_1 e^(-√μ) ) √μ= C_1 (e^√μ-e^(-√μ) ) √μ=0
μ>0、e^√μ-e^(-√μ)≠0なのでC_1=C_2=0
（※e^√μ=e^(-√μ)となるのはμ=0のときだけ）
X(x)=0 ∴u(x,t)=X(x)T(t)=0
(?A)μ=0のとき重解なので
X= C_1 e^0x+C_2 xe^0x=C_1+C_2 x
境界条件 u_x (0,t)=u_x (1,t)=0より
X^' (0)=X^' (1)= C_2=0
X=C_1
517: １３２人目の素数さん [] 07/27(日)20:22 ID:PdhNF7gV(8/8)
y''+6y'+10y=2sin(x).
D^2+6D+10=0. D=-3±i
(D^2+6D+10)y=2sin(x)
(D-(-3+i))(D-(-3-i))y=i(e^(-ix)-e^ix)
y=1/(D-(-3+i))∙1/(D-(-3-i)) i(e^(-ix)-e^ix)
a=-3+i, b = -3-i, f(x)=i(e^(-ix)-e^ix)
と置くと
y=1/(D-a)∙1/(D-b) f(x)=1/(D-b)∙1/(D-a) f(x)
=1/(D-b) e^ax 1/D e^(-ax) f(x)=1/(D-b) e^ax ∫▒〖e^(-ax) f(x)〗 dx
=e^bx 1/D e^(-bx) e^ax ∫▒〖e^(-ax) f(x)〗 dx
=e^bx 1/D e^(a-b)x ∫▒〖e^(-ax) f(x)〗 dx
=e^bx ∫▒(e^(a-b)x ∫▒〖e^(-ax) f(x)〗 dx) dx
=e^(-(3+i)x) ∫▒(e^2ix ∫▒〖e^((3-i)x) i(e^(-ix)-e^ix)〗 dx) dx
=e^(-(3+i)x) ∫▒(〖ie〗^2ix ∫▒〖e^((3-2i)x)-e^3x 〗 dx) dx
=e^(-(3+i)x) i∫▒e^2ix (e^((3-2i)x)/(3-2i)-e^3x/3+A)dx
=e^(-(3+i)x) i∫▒〖e^3x/(3-2i)-e^((3+2i)x)/3+A〗 e^2ix dx
=e^(-(3+i)x) (〖ie〗^3x/(3(3-2i))-〖ie〗^((3+2i)x)/(3(3+2i))+A (i2e^2ix)/2i+B)
=e^(-ix) e^(-3x) ((ie^3x)/(3(3-2i))-(〖ie〗^2ix e^3x)/(3(3+2i))+Ae^2ix+B)
=e^(-ix) (i/(3(3-2i))-〖ie〗^2ix/(3(3+2i))+Ae^((2i-3)x)+Be^(-3x) )
=(ie^(-ix))/(3(3-2i))-(ie^ix)/(3(3+2i))+Ae^((i-3)x)+Be^(-(3+i)x)
=i (3+2i)/3∙(cosx-isinx)/13-i (3-2i)/3∙(cosx+isinx)/13+e^(-3x) (Ae^ix+Be^(-ix))
=i (4icosx-6isinx)/39+e^(-3x) (Acosx+iAsinx+Bcosx-iBsinx)
=(-4cosx+6sinx)/39+e^(-3x) ((A+B)cosx+i(A-B)sinx)
=2sinx/13-4cosx/39+e^(-3x) (C_1 cosx+C_2 sinx)
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