フェルマーの最終定理の証明 (969ﾚｽ)
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925: １３２人目の素数さん [] 09/27(土)00:08 ID:vt9QpU1q(3/10)
P(|X-μ|?kσ)?1/k^2
lim┬(n→∞)?P(|(X_1+X_2+?+X_n)/n-μ|?ε)=0
Y_n=(X_1+X_2+?+X_n)/n
E[Y_n ]= E[(X_1+X_2+?+X_n)/n]
=1/n (E[X_1 ]+E[X_2 ]+?+E[X_n ])=1/n nμ=μ
V[Y_n ]= V[(X_1+X_2+?+X_n)/n]
=1/n (V[X_1 ]+V[X_2 ]+?+V[X_n ])=1/n^2 nσ^2=σ^2/n
P(|X-μ|?kσ)?1/k^2 ??(#)
P(|Y_n-μ|?kσ/√n)?1/k^2
ε=kσ/√n を満たす k をとると k=(ε√n)/σ なので
P(|Y_n-μ|?k σ/√n)?σ^2/(ε^2 n)
lim┬(n→∞)??σ^2/(ε^2 n)?=0 なので
lim┬(n→∞)?P(|Y_n-μ|?ε)=lim┬(n→∞)?P(|(X_1+X_2+?+X_n)/n-μ|?ε)=0
926: １３２人目の素数さん [] 09/27(土)02:52 ID:vt9QpU1q(4/10)
∫[0→π/2]( tan(x) )^(1/n) dx (n≧2)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx を求める。
t=?sin?^2 x=(sin(x))^2
?sin?^2 x=1-?cos?^2 x ?cos?^2 x=1-t
dt=2sin(x)cos(x)dx=2√t √(1-t) dx
dx=dt/(2√t √(1-t))=(t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt
(sin(x))^(1/n)=(√t)^(1/n)=t^(1/2n) (cos(x))^(1/n)=(√(1-t))^(1/n)=(1-t)^(1/2n)
∫_0^(π/2)?(tan(x))^(1/n) dx=∫_0^(π/2)?( (sin(x))^(1/n))/( (cos(x))^(1/n) ) dx=∫_0^(π/2)?( t^(1/2n))/(1-t)^(1/2n) (t^(-1/2) (1-t)^(1/2))/2 dt
=1/2 ∫_0^(π/2)???t^(1/2n) (1-t)^(-1/2n) t?^(-1/2) (1-t)^(-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2n-1/2) (1-t)^(-1/2n-1/2) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
=1/2 ∫_0^(π/2)??t^(1/2+1/2n-1) (1-t)^(1/2-1/2n-1) ? dt
(1/2) B(1/2+1/(2n), 1/2-1/(2n))
= (1/2) Γ( 1/2+1/(2n) ) Γ( 1/2-1/(2n) ) / Γ( 1/2+1/(2n) + 1/2-1/(2n) )
= (1/2) Γ(z) Γ(1-z) / Γ(1)
= (1/2) ( π/sin(πz) ) / 0！
= π/( 2 sin(πz) )
= π/( 2 sin(π/2+π/(2n)) )
= π/( 2 cos(π/(2n)) ).
927: 与作 [] 09/27(土)10:58 ID:crfbY5u5(1/4)
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2のとき、(y+1)=xとなる。
(2)は成立つので、(y-1)(y+1)=k2x/kも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
928: １３２人目の素数さん [] 09/27(土)12:23 ID:vt9QpU1q(5/10)
z = φ(x,y)
r↑(x,y) = r↑( x, y, φ(x,y) )
∬_D φ(x,y)dxdy ･･････ (#1)
∬_S φ(x,y)dS･･････ (#2)
∬_S f(x,y,z)dS = ∬_S f(x,y,φ(x,y))dS = ･･････ (#3)
a↑ = ( dx, 0, (∂φ/∂x)dx ) = ( dx, 0, φ_x*dx )
b↑ = ( 0, dy, (∂φ/∂y)dy ) = ( 0, dy, φ_y*dy )
│i↑ j↑ k↑ │
a↑×b↑ =│dx, 0, (∂φ/∂x)dx│
│ 0, dy, (∂φ/∂y)dy│
( │0 (∂φ/∂x)dx│ │(∂φ/∂x)dx 1│ │dx 0│
= │1 (∂φ/∂y)dy│, │(∂φ/∂y)dy 0│,│0 dy│ )
= (-(∂φ/∂x)dx, (∂φ/∂y)dy, dxdy).
|a↑×b↑| = √( (∂φ/∂x)^2 + (∂φ/∂y)^2 + 1 )dxdy.
∬_S f(x,y,z)dS
= ∬_D f(x,y,φ(x,y))√( (∂φ/∂x)^2 + (∂φ/∂y)^2 + 1 )dxdy
r↑(u,v) = r↑( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )
∂r↑/∂u = (∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u)
∂r↑/∂v = (∂x/∂v, ∂y/∂v, ∂z/∂v)
|∂r↑ ∂r↑ | |∂r↑ ∂r↑|
dS = |──-du×──-dv| = |──-×──-|dudv
| ∂u ∂v | | ∂u ∂v |
929: １３２人目の素数さん [] 09/27(土)12:24 ID:vt9QpU1q(6/10)
∬_S f(x,y,z) dS
|∂r↑ ∂r↑|
= ∬_D f( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )|──-×──-|dudv
| ∂u ∂v |
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│1│ │0│ │0│
i↑ =│0│, j↑=│1│, k↑=│0│
│0│ │0│ │1│
└ ┘ └ ┘ └ ┘
r↑(u,v) = x(u,v)i↑+ x(u,v)j↑+ z(u,v)k↑
∂r↑(u,v) ∂x(u,v) ∂y(u,v) ∂z(u,v)
───── = v(t)↑= ────-i↑+ ────-j↑+ ────-k↑
du du du du
┌ ┐ ┌ ┐
│∂x(u,v)/du│ │∂x/du│
=│∂y(u,v)/du│ =│∂y/du│
│∂z(u,v)/du│ │∂z/du│
└ ┘ └ ┘
┌ ┐ ┌ ┐
∂r↑(u,v) │∂x(u,v)/dv│ │∂x/dv│
───── =│∂y(u,v)/dv│ =│∂y/dv│
dv │∂z(u,v)/dv│ │∂z/dv│
└ ┘ └ ┘
df = (∂f/∂x)dx + (∂f/∂y)dy
x = x(u,v)、y = y(u,v)、z = z(u,v)の全微分は
dx = (∂x/∂u)du + (∂x/∂v)dv
dy = (∂y/∂u)du + (∂y/∂v)dv
dz = (∂z/∂u)du + (∂z/∂v)dv
r↑(u,v) = ( x(u,v), y(u,v), z(u,v) )
┌ ┐
│(∂x/∂u)du + (∂x/∂v)dv│
dr↑ =│(∂y/∂u)du + (∂y/∂v)dv│
│(∂z/∂u)du + (∂z/∂v)dv│
└ ┘
930: 与作 [] 09/27(土)16:01 ID:crfbY5u5(2/4)
n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3のとき、(y^2+y+1)=(x^2+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
931: 与作 [] 09/27(土)17:31 ID:crfbY5u5(3/4)
nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=nのとき、(y^(n-1)+…+y+1)=(x^(n-1)+…+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=kn(x^(n-1)+…+x)/kも成立たない。
∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
932: １３２人目の素数さん [] 09/27(土)18:39 ID:vt9QpU1q(7/10)
∂P(x,y)
?_C P(x,y)dx = -∬_D ────dxdy ･････ (#1)
∂y
∂P(x,y)
?_C P(x,y)dy = ∬_D ────dxdy ･････ (#2)
∂x
y = ±√(1-x^2), x = ±√(1-y^2)
φ1(x) = √(1-x^2), φ2(x) = -√(1-x^2)
ψ1(y) = √(1-y^2), ψ2(y) = -√(1-y^2)
b a
?_C P(x,y)dx = ∫ P( x,φ1(x) ) dx + ∫ P( x,φ2(x) ) dx
a b
b b
= ∫ P( x,φ1(x) ) dx - ∫P( x,φ2(x) ) dx
a a
b
= -{ ∫ P( x,φ2(x) ) - P( x,φ1(x) )dx }
a
b φ2(x)
= -{ ∫[P(x,y)] dy}
a φ1(x)
b φ2(x) ∂P(x,y) ∂P(x,y)
= -{ ∫∫ ────dy dx } = -∬_D ────dxdy
a φ1(x) ∂y ∂y
933: １３２人目の素数さん [] 09/27(土)18:39 ID:vt9QpU1q(8/10)
d c
?_C P(x,y)dx = ∫ P( ψ2(y),y ) dy + ∫ P( ψ1(y),y ) dy
c d
d d
= ∫ P( ψ2(y),y ) dy - ∫P( ψ1(y),y ) dy
c c
d
= { ∫ P( ψ2(y),y ) - P( ψ1(y),y )dy }
c
d ψ2(y)
= -{ ∫[P(x,y)] dx}
c ψ1(y)
d ψ2(y) ∂P(x,y) ∂P(x,y)
= { ∫∫ ────dy dx } = ∬_D ────dxdy
c ψ1(y) ∂x ∂x
∂Q(x,y)
?_C Q(x,y)dx = -∬_D ────dxdy ･････ (#3)
∂y
∂Q(x,y)
?_C Q(x,y)dy = ∬_D ────dxdy ･････ (#4)
∂x
934: １３２人目の素数さん [] 09/27(土)18:40 ID:vt9QpU1q(9/10)
∂Q(x,y) ∂P(x,y)
?_C P(x,y)dx + ?_C Q(x,y)dy = ∬_D ────dxdy - ∬_D ────dxdy ･････(#5)
dx dy
P(x,y) と Q(x,y) を3 次元空間内の xy 平面の領域 D で定義された関数 P(x,y,0)、Q(x,y,0)と考え
┌ ┐
│P(x,y,0)│
A↑=│Q(x,y,0)│
│ 0 │
└ ┘
┌ ┐
│ ↑i ↑j ↑k │ │ - ∂Q/∂z│
▽×A↑= rotA↑=│∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z│=│∂P/∂z │
│ P Q 0 │ │∂Q/∂x - ∂P/∂y│
└ ┘
n↑= (0, 0, 1).
rotA↑･n↑dS = (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dS
∴∫rotA↑･n↑dS = ∬_D(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy ･････(#5-b)
935: １３２人目の素数さん [] 09/27(土)18:41 ID:vt9QpU1q(10/10)
x = cosθ, y = sinθ
dx = -sinθdθ, dy = cosθdθ.
x:-1→1 θ:-π→π
?_C x^3 dx = -∫[-π〜π]cos^3θsinθdθ.
t = cosθ. dt = -sinθdt. θ:-π→π t:-1→1
-∫[-π〜π]cos^3θsinθdθ= ∫[-1〜1]t^3dt = 0
?_C x^3 dy = ∫[0-2π]cos^3θcosθdθ= ∫[0-2π]cos^4θdθ
= ∫[0-2π](3/8)+(1/2)cos2θ+(1/8)cos4θdθ
= (3/8)2π = 3π/4.
∂P/∂y = 0.
?_C x^3 dx = -∫[-π〜π]0*sinθdθ = 0.
∫0dx = F(x)= C.（常にF(x)= C ）
∫[a→b]0dx = F(b) - F(a) = C - C = 0
∂P/∂x = 3x^2.
?_C x^3 dx = ∬_D 3x^2 dxdy = 3∬_D x^2 dxdy
= 3∫[-1〜1]x^2 ∫[-√(1-x^2)〜√(1-x^2)]dy dx
= 3∫[-1〜1]x^2*2√(1-x^2)]dx
x = sint, dx = costdt. x:-1→1 t:-π/2→π/2
1 π/2
3∫x^2*2√(1-x^2)]dx = 3∫(sint)^2*2cost*cost dt
-1 -π/2
π/2 π/2
= 6∫(sint)^2*(cost)^2dt = 3/2∫(1-cos2t)(1+cos2t) dt
-π/2 -π/2
π/2
= 3/2∫(1-(cos2t)^2) dt
-π/2
π/2 π/2
= 3/2∫ dt - (3/4)∫1 + cos4t dt
-π/2 -π/2
= 3π/2 - 3π/4 = 3π/4
936: 与作 [] 09/27(土)21:34 ID:crfbY5u5(4/4)
ab=cdが成立つならば、
ab=kcd/kも成立つ。
937: 与作 [] 09/28(日)10:11 ID:Y+IGluuV(1/3)
ab=kcd/kが成立つならば、
a=kcのとき、b=d/kとなる。
938: 与作 [] 09/28(日)20:13 ID:Y+IGluuV(2/3)
n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
X^2+Y^2=Z^2をy^2=(x+1)^2-x^2…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y+1)=2x…(2)とおく。
(2)は(y-1)=2のとき、(y+1)=xとなる。
(2)は成立つので、(y-1)(y+1)=k2x/kも成立つ。
∴n=2のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を無数に持つ。
939: 与作 [] 09/28(日)22:09 ID:Y+IGluuV(3/3)
n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^3+Y^3=Z^3をy^3=(x+1)^3-x^3…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^2+y+1)=3(x^2+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=3のとき、(y^2+y+1)=(x^2+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^2+y+1)=k3(x^2+x)/kも成立たない。
∴n=3のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
940(1): １３２人目の素数さん [] 09/29(月)06:30 ID:7S881PHT(1)
実数や複素数の性質、解析学を全く使うことなしに、
フェルマの大定理の証明が果たしてできるのかはわからない。
941: 与作 [] 09/29(月)10:19 ID:K6AP7y+r(1/4)
>940
どうしてでしょうか？
942: 与作 [] 09/29(月)10:22 ID:K6AP7y+r(2/4)
私の証明が、証明になっていない点を教えてください。
943: 与作 [] 09/29(月)19:00 ID:K6AP7y+r(3/4)
nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
X^n+Y^n=Z^nをy^n=(x+1)^n-x^n…(1)とおく。(y,xは有理数)
(1)を(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=n(x^(n-1)+…+x)…(2)とおく。
(2)は(y-1)=nのとき、(y^(n-1)+…+y+1)=(x^(n-1)+…+x)とならない。
(2)は成立たないので、(y-1)(y^(n-1)+…+y+1)=kn(x^(n-1)+…+x)/kも成立たない。
∴nが奇素数のとき、X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持たない。
944: 与作 [] 09/29(月)20:47 ID:K6AP7y+r(4/4)
ab=cdが成立つならば、
ab=kcd/kも成立つ。
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