ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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47: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/02(日) 19:45:40.82 ID:5scbwZz/

>>41
(引用開始)
>突っかかるやつへの対抗ですよｗ ；ｐ）
君自身がコピペした内容理解してないから無意味
君、Jechの証明理解してないじゃん
(引用終り)

ふっふ、ほっほ

1）もし 引用部分が正しいとするね
　そうすると、私の書いていることは
　基本は 引用部分のURLからの再引用（2度目の引用）であります ；ｐ）
　あるいは、引用部分のURLからの必然の事項となっています
2）従って、理解している いない には 関係なく
　ツッコミどころは、ない！ｗ
　（そこを たまに誤解して、”再引用（2度目の引用）”を 私個人の意見と誤解して ツッコミ入れる人居ますｗ。それ あなたですｗ）
3）Jechの証明、前スレより下記だね
　 en.wikipedia の ”sup{α∣aα is defined}”が分らんと言っていた人 あなたでしょ？ｗ
　私も 誤解がありましたが、>>14の alg-d 壱大整域氏 の証明で、ようやく理解できました

ご苦労さまですｗ ；ｐ）

前スレ 808より (参考)(再掲) 631より
en.wikipedia.org/wiki/Well-ordering_theorem
Well-ordering theorem
Proof from axiom of choice
The well-ordering theorem follows from the axiom of choice as follows.[9]
Let the set we are trying to well-order be A, and let f be a choice function for the family of non-empty subsets of A.　
For every ordinal α, define an element aα that is in A by setting
aα= f(A∖{aξ∣ξ<α})
if this complement A∖{aξ∣ξ<α} is nonempty, or leave aα undefined if it is.
That is, aα is chosen from the set of elements of A that have not yet been assigned a place in the ordering (or undefined if the entirety of A has been successfully enumerated).
Then the order < on A defined by aα<aβ if and only if α<β (in the usual well-order of the ordinals) is a well-order of A as desired, of order type sup{α∣aα is defined}.
Notes
9＾ Jech, Thomas (2002). Set Theory (Third Millennium Edition). Springer. p. 48. ISBN 978-3-540-44085-7.
(引用終り)

Thomas Jechの 証明 再録（前スレ 848より）
P48
Theorem 5.1 (Zermelo’s Well-Ordering Theorem)
　Every set can be well-orderd.
Proof：
Let A be a set. To well-order A, it suffices to construct a transfinite one-to-one sequence （aα: α < θ) that enumerates A.
That we can do by induction, using a choice fiunction f for the family S of all nonempty subsets of A.
We let for every α
aα=f(A-{aξ：ξ<α})
if A-{aξ：ξ<α} is nonempty.
Let θ be the least ordinal such that A = {αξ: ξ < θ}.
Clearly,（aα：α< θ) enumerates A. ■
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/47

56: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/02(日) 21:56:48.01 ID:5scbwZz/

>>52-54
>「自分の好きな順番」と言う場合、「その順番ってZF内で記述できるの？」
>ということが問題になり、それが可能なら選択公理は要らないよね
>ということに気づかないのは、迂闊であり、有限バカだから。

1）整列可能定理で、整列させる順番は、決して一意ではない
2）それは、有限 or 無限 とは別問題ですよ
3）”それが可能なら選択公理は要らないよ”は、誤解と無理解の 複雑骨折ですねｗ ；ｐ）

>　選択関数を決めたら整列は一意だといったまで
>　選択関数が一意的でないのだから可能な整列も一意的ではない
>　さらに整列から選択関数も決められるが、
>　その場合可能な選択関数のすべてが実現できるわけではない

1）ある人が ある証明の中で 「選択関数を決めて 固定する」と宣言した
　それは、何の問題もない
2）しかし、それは その証明中だけ
　例えば、実数Rの整列を考えてみよう
　”実数Rの整列”を 決める？ 固定する？ それ ZFC内では無理ですよ
　そして、明らかに ”実数Rの整列”は 一意ではない
　何通りもあるだろう。多分 少なくとも 可算通りでは収まらない（下記ご参照）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88
整列集合
実数からなる集合
正の実数全体の成す集合 R+ に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列順序ではない。例えば開区間 (0, 1) は最小元を持たない。一方、選択公理を含む集合論の ZFC 公理系からは、実数全体の成す集合 R 上の整列順序が存在することが示せる。しかし、ZFC や、一般連続体仮説を加えた体系 ZFC+GCH においては、R 上の整列順序を定義する論理式は存在しない[1]。ただし、R 上の定義可能な整列順序の存在は ZFC と(相対的に)無矛盾である。例えば V=L は ZFC と(相対的に)無矛盾であり、ZFC+V=L ではある特定の論理式が R（実際には任意の集合）を整列順序付けることが従う。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/56

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