[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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80(2): １３２人目の素数さん [] 02/03(月)11:41 ID:RHKFtm92(4/12)
>>79
P(X)-{φ}={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d}}
として、選択関数ｆが
f({a,b,c,d})=c
f({a,b,d})=d
f({a,b})=b
f({a})=a
なら、整列はc<d<b<a となる
で、他のP(X)-{φ}でのfの値をどう設定しても整列に影響しないが、もし
f({a,b,c,d})=a
とすると、今度はf({b,c,d})の値が必要となる さらに
f({b,c,d})=b
とすると、f({c,d})の値が必要となり、
f({c,d})＝c
とすると、f({d})＝dだから、整列はa<b<c<dとなる
要するにそういうこと これは別にXが無限でも同じ
81: １３２人目の素数さん [] 02/03(月)11:45 ID:RHKFtm92(5/12)
>>79
Xが無限のとき、整列に対応する順序数は一意ではない
たとえばXが可算なら、整列に対応する順序数として、任意の可算順序数がとれる
そしてどういう可算順序数になるかは、選択関数fで決まる
>例えば、順序数ω から 一つ減らしても ωのままです
順序数の差なんて、リンク先に書かれてないが・・・幻視？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0#%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0%E3%81%AE%E6%BC%94%E7%AE%97
82: １３２人目の素数さん [] 02/03(月)11:50 ID:RHKFtm92(6/12)
>>79
なぜ、有限だと選択公理が不要で、無限だと選択公理が必要か、わかるかい？
ヒルベルトホテルのパラドックス？ 全然違うよ
答えは、無限回の操作なんて不可能だからだよ
選択公理であらかじめ空でないすべての部分集合とその要素の対応の集合を用意するのは１ステップ
また、順序数との対応づけも、帰納的定義だから１ステップ
どちらも無限回のステップなんてないから、論理的に正当
意味わかる？
83(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/03(月)11:55 ID:Kqr4zqHs(2/4)
>>78 補足
下記は、見ておくのがよさそう
(参考)（”Hausdorff's Maximal chain Condition”と”Tukeyの補題”は、有名なので 知っておくべきでしょう）
https://alg-d.com/math/ac/
alg-d 壱大整域
https://alg-d.com/math/ac/zorn.html
Zornの補題・極大原理 2015年12月20日
定理1 次の命題は(ZF上)同値．
1.順序集合Xが「Xの鎖には上界が存在する」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)
6.有限性をもつ非空集合Xは(⊂に関する)極大元をもつ．(Tukeyの補題)
8.任意の順序集合(X, ≦)は極大鎖を持つ．(Hausdorff's Maximal chain Condition)
証明
略す
84: １３２人目の素数さん [] 02/03(月)11:59 ID:RHKFtm92(7/12)
＞証明 略す
君、
実数の完備性に関する諸条件の同値性証明も
線形写像の正則性に関する諸条件の同値性証明も
全部すっとばして略したろ
論理が読めないから何度読んでも目が滑って何もわからないんだよ
論理を理解したまえ でないと数学書なんてちっとも読めないぞ
85(1): １３２人目の素数さん [] 02/03(月)12:00 ID:oyw47Vnz(7/15)
>>79
>>例えば、順序数ω から 一つ減らしても ωのままです
ωは後続順序数でないからωの前者となる順序数は存在しない。
相変わらず口を開けば間違いばかりだね。もう口閉じたら？
86(1): １３２人目の素数さん [] 02/03(月)12:30 ID:RHKFtm92(8/12)
>>85
実数ダメ 線形同型写像ダメ 選択公理ダメ
３部門で初歩レベルからダメ
これはもう根本的に心構えからなってないとしかいいようがないな アレは
87(2): １３２人目の素数さん [] 02/03(月)14:48 ID:Kqr4zqHs(3/4)
>>80
原理はその通り
>>14の alg-d 壱大整域氏 の証明は
それを ZFCのルール中で 構成している
88: １３２人目の素数さん [] 02/03(月)14:54 ID:HcxbjtX3(1/5)
>>86
わからない
89: １３２人目の素数さん [] 02/03(月)15:00 ID:oyw47Vnz(8/15)
認知症？
90: １３２人目の素数さん [] 02/03(月)15:03 ID:HcxbjtX3(2/5)
当然
91: １３２人目の素数さん [] 02/03(月)17:34 ID:HcxbjtX3(3/5)
>>87
そうかも
92: １３２人目の素数さん [] 02/03(月)17:34 ID:HcxbjtX3(4/5)
>>87
そうかも
93(2): １３２人目の素数さん [] 02/03(月)17:57 ID:Kqr4zqHs(4/4)
>>80 補足
(引用開始)
選択関数ｆが
f({a,b,c,d})=c
f({a,b,d})=d
f({a,b})=b
f({a})=a
なら、整列はc<d<b<a となる
で、他のP(X)-{φ}でのfの値をどう設定しても整列に影響しないが、もし
f({a,b,c,d})=a
とすると、今度はf({b,c,d})の値が必要となる さらに
f({b,c,d})=b
とすると、f({c,d})の値が必要となり、
f({c,d})＝c
とすると、f({d})＝dだから、整列はa<b<c<dとなる
要するにそういうこと これは別にXが無限でも同じ
(引用終り)
それでいいんだよ
そして、いま
集合Xに対する 選択関数fは
可算無限 X={x0,x1,x2,・・} ならば、f(X)＝xi | i∈N
（xiは、可算無限集合Xから一つ選ばれる）
連続無限 X={xt ｜tは実数で t∈[0,∞]} ならば、f(X)＝xt | t∈R
（xtは、連続無限集合Xから一つ選ばれる）
となる
そして、なにをどう選ぶか？
そのとき、その人次第なのです
94: １３２人目の素数さん [] 02/03(月)18:08 ID:oyw47Vnz(9/15)
>>93
>そして、なにをどう選ぶか？
>そのとき、その人次第なのです
まだ分かってなくて草
あったま悪いのうこのサルは
95(1): １３２人目の素数さん [] 02/03(月)18:15 ID:oyw47Vnz(10/15)
>>93
>そして、なにをどう選ぶか？
>そのとき、その人次第なのです
選択公理を仮定しても選択関数が存在することしか言えないのに何をどう選ぶと？
君、選択公理すら分かってないんだね なんでそんなに馬鹿自慢したいの？
96(2): １３２人目の素数さん [] 02/03(月)18:18 ID:oyw47Vnz(11/15)
選択公理は自由に選択できる公理とでも？
数学は連想ゲームじゃないよ
97(1): １３２人目の素数さん [] 02/03(月)18:29 ID:HcxbjtX3(5/5)
わからない
98: １３２人目の素数さん [] 02/03(月)19:33 ID:RHKFtm92(9/12)
>>96
>選択公理は自由に選択できる公理とでも？
確かに人がすべての値を自由に指定できるなら、そもそも選択公理はいらないな
その意味で「なにをどう選ぶか？そのとき、その人次第なのです」は嘘っぱちだな
99: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/03(月)20:51 ID:KN6t4rnq(1/3)
>>83 追加
下記も知っておく方が良い
特に
1.任意の集合は整列可能．
↓
2.任意の全順序集合は整列可能．
↓
3.集合 X が整列可能ならば冪集合 P(X) も整列可能．
これ、Jechの証明は、冪集合 P(X)を利用して 集合 Xの整列可能をしている
一見その逆の主張だね、面白い ；ｐ）
(参考)
alg-d.com/math/ac/wot.html
alg-d 壱大整域
選択公理 > 整列可能定理について
2012年08月05日
定理4 次の命題は同値
1.任意の集合は整列可能．
2.任意の全順序集合は整列可能．
3.集合 X が整列可能ならば冪集合 P(X) も整列可能．
4.順序数αに対して P(α) も整列可能．
証明 (1⇒2) 自明
(2⇒3) (X, ≦)を整列順序集合とする． P(X) に二項関係 < を
A<B ⇔ ある a∈A＼B が存在して任意の b∈B＼A に対して a<b
で定める．これによって P(α) が全順序集合になることを確かめる．
(i) ¬A<A について．
A＼A= ∅ なので明らか
(ii) A<B ⇒ ¬B<A について．
A<Bとすると < の定義より，あるa0∈A＼Bが存在して「任意の b∈B＼A に対して a0<b 」となる．よって明らかに ¬B<A である．
(iii) A<B または A=B または B<A について．
A≠B とすると，X は整列順序集合だから a := min( (A＼B)∪(B＼A) ) が存在する．勿論 a∈A または a∈B であるが，明らかに a∈A ならば A < Bで，a∈B ならば B < A である．
(iv) (A<B かつ B<C) ⇒ A<C について．
¬A<C と仮定する．A=C だとすると A<BかつB<A となり(ii)に反するので A≠B である．故に(iii)から C<A である．A<B, B<C, C<A より
(1) 任意の b∈B＼A に対して a0 < b
(2) 任意の c∈C＼B に対して b0 < c
(3) 任意の a∈A＼C に対して c0 < a
を満たすa0∈A＼B, b0∈B＼C, c0∈C＼Aが存在する．a0∈A＼Cである．
∵ a0 ∉ A＼C と仮定する．即ちa0∈Ac∪Cである．a0∈A＼Bだったから a0 ∈ (Ac∪C)∪(A＼B) = A∪C＼B ⊂ C＼B である．よって(2)により b0 < a0．従って(1)から b0 ∉ B＼A でなければならない．すると同様の議論を繰り返して a0 < c0 < b0 < a0 が導かれ，矛盾．
同様にしてb0∈B＼A, c0∈C＼Bである．従って(1)(2)(3)から a0 < b0 < c0 < a0 となり，矛盾する．
以上より(P(X), <)は全順序集合である．よって，仮定より整列可能である．
(3⇒4) 明らか．
以下略す
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