[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)

ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/

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593: １３２人目の素数さん [] 2025/02/10(月) 17:49:46.16 ID:6fwmQoR3 数学の成果は２種類ある １．直観的にそう思われてるが、やっぱりそうだと追認するのが困難な成果 ２．直観的にそう思われてるが、実は全然そうじゃなかったと示す結果 そもそも直観することが難しいものは、どうであろうが大して面白みがない そういう意味では数学にも寿命はあるだろう 人の直観が働く範囲は所詮有限であるから http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/593

594: １３２人目の素数さん [] 2025/02/10(月) 17:50:45.00 ID:6fwmQoR3 木は際限なく大きくならない 人は際限なく生きながらえることははない 数学もまた同じ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/594

595: １３２人目の素数さん [] 2025/02/10(月) 17:53:03.84 ID:mmxYF8sw >やっぱりそうだと追認するのが困難な成果 代数多様体の特異点解消など >実は全然そうじゃなかったと示す結果 バナッハ・タルスキーの逆理など http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/595

596: １３２人目の素数さん [] 2025/02/10(月) 17:58:56.54 ID:6fwmQoR3 バナッハ・タルスキーの逆理はハウスドルフの逆理に基づいているが 階数２以上の自由群の初等的性質を用いてる点でヒルベルトの無限ホテルの延長線上にある 面白いけど実は難しくないので、多分これではフィールズ賞は取れない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/596

597: １３２人目の素数さん [] 2025/02/10(月) 18:03:14.76 ID:6fwmQoR3 正直、下の図の赤線で囲われた範囲と青線で囲われた範囲が合同だとわかればいい そりゃ１個のものを２個でも３個でも好きに増やせるのは自明である https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%EF%BC%9D%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9#/media/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Paradoxical_decomposition_F2.svg http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/

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598: １３２人目の素数さん [] 2025/02/10(月) 19:18:00.10 ID:mmxYF8sw ここは面白い↓ 選択公理よりも真に弱いハーン–バナッハの定理からバナッハ＝タルスキーのパラドックスを導くことができる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/598

599: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/10(月) 19:20:50.54 ID:KhO7fgYD p進数は？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/599

600: １３２人目の素数さん [] 2025/02/10(月) 19:26:57.10 ID:6fwmQoR3 >>598 双曲平面なら選択公理もハーン・バナッハもいらない 直接、分割が構成できるから　しかし実に面白い 要するに選択公理もハーン・バナッハもパラドックスの本質ではない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/600

601: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/10(月) 19:32:28.33 ID:KhO7fgYD 実は、双曲平面でのバナッハ・タルスキーのパラドックスには 「ガウスの描いた不思議な図」が大いに関係するのだが ガウス好きの元教授がこの話題に食いつかないのは、内容を 理解してないからなのではないかという気もするｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/601

602: １３２人目の素数さん [] 2025/02/10(月) 19:32:57.26 ID:mmxYF8sw ここから先は難しい↓ 有理数係数の二次形式では、常に局所大域原理が成り立つ。この事実はミンコフスキーが証明し、代数体に拡張した結果をハッセが証明したため、合わせてハッセ–ミンコフスキーの定理と呼ばれる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/602

603: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/10(月) 19:38:07.25 ID:KhO7fgYD Q_pからRへの1対1連続な写像が構成できて そのRの中での像は、カントール集合っぽい 集合になるらしい... http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/603

604: １３２人目の素数さん [] 2025/02/10(月) 19:41:02.52 ID:6fwmQoR3 >>601 モジュラー群が重要な役割を果たしますね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/604

605: １３２人目の素数さん [] 2025/02/10(月) 19:43:18.57 ID:6fwmQoR3 >>603 Qpもカントール集合も完全不連結ですからね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/605

606: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/10(月) 19:49:41.76 ID:KhO7fgYD >>604 ガウスの遺稿の中にいたずらがきみたいな図があって、当時それを見た 数学者が「なんだこりゃ？」と思ったが、それからさらに数十年経って 基本領域の図であると分かったという話。これは『近世数学史談』 に書いてありますね。 ところが、その基本領域は今日言うPSL(2,Z)ではなく、その部分群の図で その部分群こそは自由群F_2と同型。 ただ、わたしはその図を見たことがない。「部分群の基本領域だ」 という話は、浪川幸彦氏が書いていたと思う。 http://ri

o2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/606

607: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/10(月) 20:05:16.64 ID:KhO7fgYD 基本領域の形自体が、自由群であることを示している。 自由群というのは、ケーリー図を書いた場合、サイクルのない 「木」になっていて、生成元による表示の一意性が成立するが 基本領域の形にもそれがあらわれている。 これはまぁ、面白い事実だと思う。 ただ、ガウス本人が描いた絵が見れないのが無念。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/607

608: １３２人目の素数さん [sage] 2025/02/10(月) 20:07:53.68 ID:KhO7fgYD 検索屋さんは探してきてくれｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/608

609: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/10(月) 20:14:10.08 ID:fq1QO0q/ >>551-553 おっちゃん、ご苦労さまです 下記 e (mathematical constant) 、皆さんの参考に貼ります ；ｐ） (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0 ネイピア数（ネイピアすう、英: Napier's constant）は、数学定数の一つであり、自然対数の底である。ネーピア数、ネピア数とも表記する。記号として通常は e が用いられる。 en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant) e (mathematical constant) Properti

es Number theory The real number e is irrational. Euler proved this by showing that its simple continued fraction expansion does not terminate.[38] (See also Fourier's proof that e is irrational.) Furthermore, by the Lindemann–Weierstrass theorem, e is transcendental, meaning that it is not a solution of any non-zero polynomial equation with rational coefficients. It was the first number to be proved transcendental without having been specifically constructed for this purpose (compare with Liouville

number); the proof was given by Charles Hermite in 1873.[39] The number e is one of only a few transcendental numbers for which the exact irrationality exponent is known (given by μ(e)=2.[40] An unsolved problem thus far is the question of whether or not the numbers e and π are algebraically independent. This would be resolved by Schanuel's conjecture – a currently unproven generalization of the Lindemann–Weierstrass theorem.[41][42] It is conjectured that e is normal, meaning that when e is

expressed in any base the possible digits in that base are uniformly distributed (occur with equal probability in any sequence of given length).[43] In algebraic geometry, a period is a number that can be expressed as an integral of an algebraic function over an algebraic domain. The constant π is a period, but it is conjectured that e is not.[44] （google訳） 実数 e は無理数です。オイラーは、単純な連分数展開が終了しないことを示してこれを証明した。[38] (e が無理数であるというフーリエの証明も参照してくだ

さい。) さらに、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理によれば、e は超越数であり、有理係数を持つ非ゼロ多項式方程式の解ではないことを意味します。これは、特にこの目的のために構築されることなく超越数であることが証明された最初の数でした（リウヴィル数と比較してください）。この証明は1873年にシャルル・エルミートによってなされた。[39] eは、正確な無理数指数が知られている数少ない超越数のうちの1つです（ μ(e)=2.[40] つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/609

610: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/10(月) 20:15:26.43 ID:fq1QO0q/ つづき これまで未解決の問題は、e と π という数が代数的に独立であるかどうかという問題です。これは、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理の現在証明されていない一般化であるシャヌエルの予想によって解決されるだろう。[41][42] eは正規分布していると考えられており、これはeを任意の基数で表した場合、その基数で可能な数字が均一に分布している（与えられた長さの任意のシーケンスで等しい確率で発生する）ことを意味する。[43] 代数幾何学におい

て、周期とは代数領域上の代数関数の積分として表現できる数です。定数πは周期であるが、eは周期ではないと推測される。[44] en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_e_is_irrational Proof that e is irrational The number e was introduced by Jacob Bernoulli in 1683. More than half a century later, Euler, who had been a student of Jacob's younger brother Johann, proved that e is irrational; that is, that it cannot be expressed as the quotient of two integers. Euler's proof Euler wrote the first proof of the fact that e is i

rrational in 1737 (but the text was only published seven years later).[1][2][3] He computed the representation of e as a simple continued fraction, which is e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,・・・ ,2n,1,1,・・・ ]. Since this continued fraction is infinite and every rational number has a terminating continued fraction, e is irrational. A short proof of the previous equality is known.[4][5] Since the simple continued fraction of e is not periodic, this also proves that e is not a root of a quadratic polynomial

with rational coefficients; in particular, e2 is irrational. Fourier's proof 略す Alternate proofs 略す Generalizations 略す (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/610

611: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/10(月) 20:20:55.17 ID:fq1QO0q/ >>609-610 補足 なんか、googleのAI訳があやしいな ご愛敬ですねｗ （＾＾ It is conjectured that e is normal, meaning that when e is expressed in any base the possible digits in that base are uniformly distributed (occur with equal probability in any sequence of given length).[43] 　　↓↑ eは正規分布していると考えられており、これはeを任意の基数で表した場合、その基数で可能な数字が均一に分布している（与えられた長さの任意

のシーケンスで等しい確率で発生する）ことを意味する。[43] http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/611

612: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/10(月) 21:05:42.74 ID:fq1QO0q/ >>606-608 おっちゃん、ご苦労さまです 下記ですな が、はっきりした 図そのものが出てこない 下記の Gauss and the Arithmetic-Geometric Mean David A. Cox 2016 P20/22 が そうかな？ Gauss 全集と付き合わせたいところだが、いまはここまで ついでにヒットした資料貼っておく （なお 下記 武部 尚志先生 ”作った資料を←こちらの「資料公開」の項に置いてみました”というが、リンクが無い！ｗ ；ｐ） (参考) ctnt-summer.math.uconn.edu/wp-con

tent/uploads/sites/1632/2016/02/coxctnt.pdf Gauss and the Arithmetic-Geometric Mean David A. Cox Department of Mathematics and Statistics Amherst College dacox@amherst.edu CTNT, August 10, 2016 P20/22 Fundamental Domains Gauss knew that k′(τ)2 was Γ(2)-invariant, and he also knew the fundamental domain of Γ(2). This fundamental domain appears twice in his collected works: InVolumeIII, published in 1863 and edited by Ernst Schering: InVolumeVIII, published in 1900 and edited by Felix Klein: www.researc

hgate.net/publication/248675540_The_Arithmetic-Geometric_Mean_of_Gauss The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss January 1984 L’Enseignement Mathématique David Cox reuler.blog108.fc2.com/blog-entry-1800.html 日々のつれづれ Author:オイラー研究所の所長 （高瀬先生） ガウスの数学日記90　「広義に於けるsin.lemn.」2012-07-28 数学日記の第105項目については、高木先生も『近世数学史談』の一章を使って詳述しています。その章というのは第9章のことなのですが、その第9章には「書かれなかった楕円函数論」という表題が附されて

います。これを要するに、ガウスはレムニスケート函数に対して成立する等式M(√2,1)=π/ωを糸口にして、楕円関数論という広大な大洋を発見したということになります。数学日記のガウス全集版テキストにも詳しい註記がついていて、そのようなことが書かれていますし、ガウスの楕円関数論がどのようにして発見されたのか、経緯は明瞭にわかります。ガウスはモジュラー関数さえ発見し、基本領域の図まで描いたと、高木先生は驚きを隠しません。 　高木先生の解説によると、ガウスは 　　π/M(1,√(1+μ^2))=ω,　π/M(μ,√(1+μ^2))=ω’ と置き、これ

らを用いて無限級数 　　S(u)=(π/μω)(4 sin πν/(h^(1/2)+h^(-1/2))-4 sin 3πν/(h^(3/2)+h^(-3/2))+…) を作り、これを「広義に於けるsin.lemn.」と呼びました。sin.lemn.というのはレムニスケート関数のことですから、「広義に於けるsin.lemn.」という以上、ガウスははじめからレムニスケート関数の延長線上に位置を占める関数を、そのようなものが存在すると確信したうえで、探索していたことがわかります。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/612

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