ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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590: １３２人目の素数さん [] 02/10(月)17:40 ID:6fwmQoR3(66/75)
◆yH25M02vWFhP は数学の成果が素晴らしいものだと思い込んでるようだが
それは数学に対して全く無理解だからそう思うのであって
数学がどういうものかちょっとでもわかってしまうと別に大したことじゃないと
突き放して見ることができる

591: １３２人目の素数さん [] 02/10(月)17:45 ID:6fwmQoR3(67/75)
Cohenの成果は、Cantorの集合論の魔法性を取っ払うものである

ぶっちゃけていえば、連続体の濃度について、どうであっても矛盾しないとか
なんなら、整列できなくても全然問題ないとか、示しちゃった時点で
「なんだよ、集合論って基本的な事柄について、なんも決まってないんじゃん」
と暴露されちゃった

このこと自体は重要な成果なのでCohenがFields賞をとったことは当然だが
同時に、集合論に関して今度どんな成果が得られようと、
よほどとんでもなく集合論がスッカスカだと示さない限り
Fields賞とれないだろうって感じになってしまったｗ

592: １３２人目の素数さん [] 02/10(月)17:48 ID:mmxYF8sw(8/11)
>>588
>一度も感謝されたことがない
その理由が理解できないからやめないわけ？

593: １３２人目の素数さん [] 02/10(月)17:49 ID:6fwmQoR3(68/75)
数学の成果は２種類ある

１．直観的にそう思われてるが、やっぱりそうだと追認するのが困難な成果
２．直観的にそう思われてるが、実は全然そうじゃなかったと示す結果

そもそも直観することが難しいものは、どうであろうが大して面白みがない
そういう意味では数学にも寿命はあるだろう
人の直観が働く範囲は所詮有限であるから

594: １３２人目の素数さん [] 02/10(月)17:50 ID:6fwmQoR3(69/75)
木は際限なく大きくならない
人は際限なく生きながらえることははない

数学もまた同じ

595: １３２人目の素数さん [] 02/10(月)17:53 ID:mmxYF8sw(9/11)
>やっぱりそうだと追認するのが困難な成果
代数多様体の特異点解消など
>実は全然そうじゃなかったと示す結果
バナッハ・タルスキーの逆理など

596: １３２人目の素数さん [] 02/10(月)17:58 ID:6fwmQoR3(70/75)
バナッハ・タルスキーの逆理はハウスドルフの逆理に基づいているが
階数２以上の自由群の初等的性質を用いてる点でヒルベルトの無限ホテルの延長線上にある
面白いけど実は難しくないので、多分これではフィールズ賞は取れない

597: １３２人目の素数さん [] 02/10(月)18:03 ID:6fwmQoR3(71/75)
正直、下の図の赤線で囲われた範囲と青線で囲われた範囲が合同だとわかればいい
そりゃ１個のものを２個でも３個でも好きに増やせるのは自明である

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%EF%BC%9D%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9#/media/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Paradoxical_decomposition_F2.svg

598(1): １３２人目の素数さん [] 02/10(月)19:18 ID:mmxYF8sw(10/11)
ここは面白い↓

選択公理よりも真に弱いハーン–バナッハの定理からバナッハ＝タルスキーのパラドックスを導くことができる。

599: １３２人目の素数さん [sage] 02/10(月)19:20 ID:KhO7fgYD(1/6)
p進数は？

600: １３２人目の素数さん [] 02/10(月)19:26 ID:6fwmQoR3(72/75)
>>598
双曲平面なら選択公理もハーン・バナッハもいらない
直接、分割が構成できるから　しかし実に面白い
要するに選択公理もハーン・バナッハもパラドックスの本質ではない

601(1): １３２人目の素数さん [sage] 02/10(月)19:32 ID:KhO7fgYD(2/6)
実は、双曲平面でのバナッハ・タルスキーのパラドックスには
「ガウスの描いた不思議な図」が大いに関係するのだが
ガウス好きの元教授がこの話題に食いつかないのは、内容を
理解してないからなのではないかという気もするｗ

602: １３２人目の素数さん [] 02/10(月)19:32 ID:mmxYF8sw(11/11)
ここから先は難しい↓

有理数係数の二次形式では、常に局所大域原理が成り立つ。この事実はミンコフスキーが証明し、代数体に拡張した結果をハッセが証明したため、合わせてハッセ–ミンコフスキーの定理と呼ばれる。

603(1): １３２人目の素数さん [sage] 02/10(月)19:38 ID:KhO7fgYD(3/6)
Q_pからRへの1対1連続な写像が構成できて
そのRの中での像は、カントール集合っぽい
集合になるらしい...

604(1): １３２人目の素数さん [] 02/10(月)19:41 ID:6fwmQoR3(73/75)
>>601
モジュラー群が重要な役割を果たしますね

605: １３２人目の素数さん [] 02/10(月)19:43 ID:6fwmQoR3(74/75)
>>603
Qpもカントール集合も完全不連結ですからね

606(1): １３２人目の素数さん [sage] 02/10(月)19:49 ID:KhO7fgYD(4/6)
>>604
ガウスの遺稿の中にいたずらがきみたいな図があって、当時それを見た
数学者が「なんだこりゃ？」と思ったが、それからさらに数十年経って
基本領域の図であると分かったという話。これは『近世数学史談』
に書いてありますね。
ところが、その基本領域は今日言うPSL(2,Z)ではなく、その部分群の図で
その部分群こそは自由群F_2と同型。
ただ、わたしはその図を見たことがない。「部分群の基本領域だ」
という話は、浪川幸彦氏が書いていたと思う。

607(1): １３２人目の素数さん [sage] 02/10(月)20:05 ID:KhO7fgYD(5/6)
基本領域の形自体が、自由群であることを示している。
自由群というのは、ケーリー図を書いた場合、サイクルのない
「木」になっていて、生成元による表示の一意性が成立するが
基本領域の形にもそれがあらわれている。
これはまぁ、面白い事実だと思う。
ただ、ガウス本人が描いた絵が見れないのが無念。

608(1): １３２人目の素数さん [sage] 02/10(月)20:07 ID:KhO7fgYD(6/6)
検索屋さんは探してきてくれｗ

609(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/10(月)20:14 ID:fq1QO0q/(2/6)
>>551-553
おっちゃん、ご苦労さまです
下記 e (mathematical constant) 、皆さんの参考に貼ります；ｐ）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%8D%E3%82%A4%E3%83%94%E3%82%A2%E6%95%B0
ネイピア数（ネイピアすう、英: Napier's constant）は、数学定数の一つであり、自然対数の底である。ネーピア数、ネピア数とも表記する。記号として通常は e が用いられる。

en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)
e (mathematical constant)
Properties
Number theory
The real number e is irrational. Euler proved this by showing that its simple continued fraction expansion does not terminate.[38] (See also Fourier's proof that e is irrational.)

Furthermore, by the Lindemann–Weierstrass theorem, e is transcendental, meaning that it is not a solution of any non-zero polynomial equation with rational coefficients. It was the first number to be proved transcendental without having been specifically constructed for this purpose (compare with Liouville number); the proof was given by Charles Hermite in 1873.[39] The number e is one of only a few transcendental numbers for which the exact irrationality exponent is known (given by
μ(e)=2.[40]

An unsolved problem thus far is the question of whether or not the numbers e and π are algebraically independent. This would be resolved by Schanuel's conjecture – a currently unproven generalization of the Lindemann–Weierstrass theorem.[41][42]

It is conjectured that e is normal, meaning that when e is expressed in any base the possible digits in that base are uniformly distributed (occur with equal probability in any sequence of given length).[43]

In algebraic geometry, a period is a number that can be expressed as an integral of an algebraic function over an algebraic domain. The constant π is a period, but it is conjectured that e is not.[44]

（google訳）
実数 e は無理数です。オイラーは、単純な連分数展開が終了しないことを示してこれを証明した。[38] (e が無理数であるというフーリエの証明も参照してください。)

さらに、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理によれば、e は超越数であり、有理係数を持つ非ゼロ多項式方程式の解ではないことを意味します。これは、特にこの目的のために構築されることなく超越数であることが証明された最初の数でした（リウヴィル数と比較してください）。この証明は1873年にシャルル・エルミートによってなされた。[39] eは、正確な無理数指数が知られている数少ない超越数のうちの1つです（
μ(e)=2.[40]

つづく

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