ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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417: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/09(日) 11:44:56.26 ID:lz6oAIdr

>>387 つづき
>ヴィタリ集合 加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群)
>で、Q→U ( 10進の有限小数環（有限小数の"U"ね）) を考える

Q→U ( 10進の有限小数環（有限小数の"U"ね）) を考えるのは、布石でして
”数学での抽象化と具体化の行き来”>>347 の応用で
まず、抽象的な 下記の game1を、まず扱う （game1は、箱入り無数目と同じ rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/ ）
”Player 1 chooses a countably infinite sequence x = (xn)n∈N of real numbers”

ここで
x = (xn)n∈N を、形式的冪級数に移して考える（余談：形式的冪級数は、数え上げで有用（下記））
記号を、下記にならって
R係数の 形式的冪級数R[[X]]、多項式環 R[X] とする
下記の game1のしっぽ同値は、f1[[x]],f2[[x]] ∈R[[X]]で
f1[[x]] - f2[[x]] :＝f(x)∈R[X]（多項式）となることだ
つまり、f1[[x]],f2[[x]]で ある n+1次より上の項が一致していて 差を取ると、n次多項式f(x)に落ちる

決定番号とは、f1[[x]],f2[[x]] で ある項から上が一致していることだから
それは n+1次より上の項の一致で、決定番号d:=n+1 です
（下記 game1 では "Let X = R^N be the set of countable infinite sequences of real numbers. Consider the equivalence relation on X where x ∼ x′ if and only if there is N such that xn = x′ n for all n ≥ N (i.e., x and x′ coincide except for finitely many coordinates). "の部分。なお R^Nとn ≥ Nとで Nは別物で PDF上ではフォントを変えて記述しているよ）

なので、決定番号d:=n+1 を考えることは、即ち n次多項式f(x) の次数nを考えることだ
ところで、下記  都築暢夫 広島大によれば、”多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である”
とある
だから、多項式環F[x]から 何も考えずに 一つ多項式f(x)を選ぶことは
即ち、無限次元の線形空間から 一つのベクトルを選ぶことで
それって、普通に 無限次元ベクトル（＝いかなる 任意有限n より大という意味）で
多項式の次数は 普通に 無限次（＝いかなる 任意有限n より大という意味）で
すよねｗ

一旦、ここまでを枕とするｗ ；ｐ）

(参考)
www.ma.huji.ac.il/hart/
Sergiu Hart
www.ma.huji.ac.il/hart/#puzzle
Some nice puzzles:
www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
Choice Games November 4, 2013
P1
Consider the following two-person game game1:1 • Player 1 chooses a countably infinite sequence x = (xn)n∈N of real numbers, and puts them in boxes labeled 1,2, ...

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/417

419: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/02/09(日) 11:45:29.53 ID:lz6oAIdr

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
体上の一変数多項式環 K[X]

（rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/16 より再録）
www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学I 都築暢夫 広島大
F を体とする
P3
例3.2.多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である
証明. 1,x,··· ,xnがF[x]nの基底になること: 1,x,··· ,xnがF[x]nを生成することは明らか
a0,··· ,an∈Fに対してa0+a1x+···+anxn=0とするとき、a0=a1=···an=0となることをnに関する帰納法で証明する
n=0のときは明らか。n−1まで成り立つとする。x=0とすると、a0=0である
(a1+ a2x+···+anxn−1)x=0より、a1+a2x+···+anxn−1=0である
帰納法の仮定から、a1=···an=0となる。よって、1,x,··· ,xnは一次独立である
したがって、1,x,··· ,xnはF[x]nの基底になる■

maspypy.com/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E3%83%BB%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E3%81%B9%E3%81%8D%E7%B4%9A%E6%95%B0%E6%95%B0%E3%81%88%E4%B8%8A%E3%81%92%E3%81%A8%E3%81%AE%E5%AF%BE%E5%BF%9C%E4%BB%98%E3%81%91
maspyのHP 2023.09.25
[多項式・形式的べき級数]
（１）数え上げとの対応付け
（２）式変形による解法の導出
（３）線形漸化式と形式的べき級数
概要
ある種の数え上げの計算は、多項式・形式的べき級数に対する計算と結び付けることができます。数え上げの問題を、多項式・形式的べき級数に対する計算と読み替えて、代数的な式変形により答を得る手法が、競技プログラミングにおいても注目され始めているようです
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/419

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