ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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408(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/09(日)09:53 ID:lz6oAIdr(3/12)
>>397
>>『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』
>「実数Rは有理数Qの完備化」とわかっていれば、
>こんな愚問は決して発しない

ふっふ、ほっほ
なんだかねｗ
ＭＭ（数学成熟度）が低いと、頭に残らないらしいなｗｗ；ｐ）
下記ですよーｗなお、下記のHorst Herrlich氏は、ICMの招待講演者らしい

つまり、可算選択の公理があってさえ ”5. R is a Lindel¨ of space,”までだ（なお 6. Q is a Lindel¨ of space, とも）
なので、可算選択の公理じゃ「実数Rは有理数Qの完備化」はとてもとてもいえない
まして、可算選択の公理さえ無い生の『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』については、殆ど答えが出ているだろう

(参考)(前スレより再録。なお、en.wikipediaでも同様に Horst Herrlich が、参考文献で挙げられていた)
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/83-85
fr.wikipedia.org/wiki/Axiome_du_choix_d%C3%A9nombrable
Axiome du choix dénombrable 仏語可算選択の公理

Notes et références
3．Pour d'autres énoncés équivalents à ACω, voir (en) Horst Herrlich, « Choice principles in elementary topology and analysis », Comment. Math. Univ. Carolinae, vol. 38, no 3,‎ 1997, p. 545-552 (lire en ligne [archive]) et (en) Paul Howard et Jean E. Rubin, Consequences of the Axiom of Choice, Providence, R.I., AMS, 1998.

archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
1. In the realm of the reals
We start by observing that several familiar topological properties of the reals are equivalent to each other and to rather natural choice-principles.
Theorem 1.1 ([15], [29], [30]). Equivalent are:
1. in R, a point x is an accumulation point of a subset A iff there exists a sequence in A＼{x} that converges to x,
2. a function f : R → R is continuous at a point x iff it is sequentially continuous at x,
3. a real-valued function f : A → R from a subspace A of R is continuous iff it is sequentially continuous,
4. each subspace of R is separable,
5. R is a Lindel¨ of space,
6. Q is a Lindel¨ of space,
7. N is a Lindel¨ of space,
8. each unbounded subset of R contains an unbounded sequence,
9. the Axiom of Choice for countable collections of subsets of R.

つづく

409: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/09(日)09:54 ID:lz6oAIdr(4/12)
つづき

There exist models of ZF that violate the above conditions ([17], [18]).
Observe the fine distinction between conditions 2 and 3 of Theorem 1.1.
These may lead one to assume that also the following property is equivalent to the above conditions:
(*) a function f : R −→ R is continuous iff it is sequentially continuous.
However, this would be a serious mistake: (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29].
If, however, we consider functions f : X −→ R with metric domain we need even more choice than in Theorem 1.1, — see Theorem 2.1.
Proposition 1.2 ([15]). Equivalent are:
1. in R, every bounded infinite set contains a convergent injective sequence,
2. every infinite subset of R is Dedekind-infinite.
There exist models of ZF that violate the above conditions ([18]).
Obviously, the conditions of Theorem 1.1 imply the conditions of Proposition 1.2.
Is the converse true?
Observe that the following slight modifications of condition 1 in Proposition 1.2 hold in ZF:
(a) in R, every bounded countable set contains a convergent injective sequence,
(b) in R, for every bounded infinite set there exists an accumulation point.

＜Lindelöfとは？＞
en.wikipedia.org/wiki/Lindel%C3%B6f_space
Lindelöf space
In mathematics, a Lindelöf space[1][2] is a topological space in which every open cover has a countable subcover.
The Lindelöf property is a weakening of the more commonly used notion of compactness, which requires the existence of a finite subcover.

（注：上記の”(*) a function f : R −→ R is continuous iff it is sequentially continuous. (*) holds in ZF (without any choiceassumptions) — see [29]”が、下記と思う）
alg-d.com/math/ac/continuous.html
トップ > 数学 > 選択公理 > 実数関数の連続性
壱大整域 20130323
一方，次の命題はZFで証明できる．
命題 f: R→Rとする．
fがRで連続 ⇔ 収束点列 { xn }n=0∞に対して limn→∞f(xn) = f(limn→∞xn)
証明略す

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9F%E6%95%B0%E3%81%AE%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7
実数の連続性（continuity of real numbers）とは、実数の集合がもつ性質である。有理数はこの性質を持たない。
実数の連続性は、実数の完備性 (completeness of the real numbers) とも言われる
(引用終り)
以上

410(1): １３２人目の素数さん [] 02/09(日)10:12 ID:KVhWlXEd(16/26)
＞可算選択の公理じゃ「実数Rは有理数Qの完備化」はとてもとてもいえない
　では
　君が考える実数Rの定義から、完備化の反例、つまり
　実数のコーシー列なのに、実数の極限を持たないもの
　を１つ示してくれるかな

　できないなら・・・黙り給え　エテ公

411(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/09(日)10:39 ID:lz6oAIdr(5/12)
>>404
＞数の歴史とは、ないなら作ってしまえ、という歴史の積み重ね

ふっふ、ほっほ
おサル、いま良いことを一つ言ったね；ｐ）

　>>10より
・自然数 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
　『形式的な定義自然数の公理
　以上の構成(注ノイマン構成)は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
　例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
　0 := {}
　1 := {0} = {{}}
　2 := {1} = {{{}}}
　3 := {2} = {{{{}}}}
　と非常に単純な自然数になる』

この方式では、
n → ∞（=ω）で、 ω := {・・{{{}}}・・}_ω （つまりカッコ{}の無限多重）が実現できない

しかしだから、lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！
は、ありだよ

これは、下記一点コンパクト化の例でもある

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%83%91%E3%82%AF%E3%83%88%E5%8C%96
コンパクト化
アレクサンドロフの一点コンパクト化
普遍性
コンパクトではない空間の一点コンパクト化
X∗がハウスドルフ空間であれば以下の性質（普遍性）を満たす事が知られている：
アレクサンドロフの一点コンパクト化の普遍性
略す
一点コンパクト化の例
自然数全体（離散位相）
N の一点コンパクト化は
N に最大元
ω を付け加えた順序集合
N∪{ω} の順序位相と同相になる。

412(2): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/09(日)10:47 ID:lz6oAIdr(6/12)
>>410
(引用開始)
＞可算選択の公理じゃ「実数Rは有理数Qの完備化」はとてもとてもいえない
　では
　君が考える実数Rの定義から、完備化の反例、つまり
　実数のコーシー列なのに、実数の極限を持たないもの
　を１つ示してくれるかな
(引用終り)

おサル
君が何を言っているか不明だが
まず、>>408 に示した
archive.wikiwix.com/cache/display2.php?url=http%3A%2F%2Fwww.emis.de%2Fjournals%2FCMUC%2Fpdf%2Fcmuc9703%2Fherrli.pdf
Comment.Math.Univ.Carolin. 38,3(1997)545–552 545
Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich
を、百回音読してね
その上で、Horst Herrlich が引用している全文献に目を通しなさいｗ；ｐ）
勉強が足りないよｗ；ｐ）

なお >>387より
＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”)

とある通り、『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』は、後で取り上げる予定
慌てる乞食は貰いが少ないｗ；ｐ）

413: １３２人目の素数さん [sage] 02/09(日)11:23 ID:h/rU8tE5(2/6)
1は
"Choice principles in elementary topology and analysis Horst Herrlich"
を理解してないだろ。理解してると言うなら、自分の言葉で要約してみな。
どうせ、「選択公理なしでは拙いという例」を必死に探した結果
出てきただけの文書でしょ。実際、何が拙いのか、ピンポイントで
抽出できないというのは、理解してないってこと。

414: １３２人目の素数さん [sage] 02/09(日)11:29 ID:h/rU8tE5(3/6)
勿論、「ZFで実数が定義できない」とか、「完備性の要件をみたさない」
なんてバカなことが書いてあるわけがない。

415: １３２人目の素数さん [sage] 02/09(日)11:31 ID:h/rU8tE5(4/6)
ちなみにQの完備化としては、p進数体Q_pもありますから。

416(1): １３２人目の素数さん [sage] 02/09(日)11:32 ID:h/rU8tE5(5/6)
Q_pの発見は、数学上の最大の発見の一つだと思う。

417: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/09(日)11:44 ID:lz6oAIdr(7/12)
>>387 つづき
>ヴィタリ集合加法の商群 R/Q (つまり、有理数分の差を持つ実数同士を集めた同値類による剰余群)
>で、Q→U ( 10進の有限小数環（有限小数の"U"ね）) を考える

Q→U ( 10進の有限小数環（有限小数の"U"ね）) を考えるのは、布石でして
”数学での抽象化と具体化の行き来”>>347 の応用で
まず、抽象的な下記の game1を、まず扱う（game1は、箱入り無数目と同じ rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/ ）
”Player 1 chooses a countably infinite sequence x = (xn)n∈N of real numbers”

ここで
x = (xn)n∈N を、形式的冪級数に移して考える（余談：形式的冪級数は、数え上げで有用（下記））
記号を、下記にならって
R係数の形式的冪級数R[[X]]、多項式環 R[X] とする
下記の game1のしっぽ同値は、f1[[x]],f2[[x]] ∈R[[X]]で
f1[[x]] - f2[[x]] :＝f(x)∈R[X]（多項式）となることだ
つまり、f1[[x]],f2[[x]]である n+1次より上の項が一致していて差を取ると、n次多項式f(x)に落ちる

決定番号とは、f1[[x]],f2[[x]] である項から上が一致していることだから
それは n+1次より上の項の一致で、決定番号d:=n+1 です
（下記 game1 では "Let X = R^N be the set of countable infinite sequences of real numbers. Consider the equivalence relation on X where x ∼ x′ if and only if there is N such that xn = x′ n for all n ≥ N (i.e., x and x′ coincide except for finitely many coordinates). "の部分。なお R^Nとn ≥ Nとで Nは別物で PDF上ではフォントを変えて記述しているよ）

なので、決定番号d:=n+1 を考えることは、即ち n次多項式f(x) の次数nを考えることだ
ところで、下記都築暢夫広島大によれば、”多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である”
とある
だから、多項式環F[x]から何も考えずに一つ多項式f(x)を選ぶことは
即ち、無限次元の線形空間から一つのベクトルを選ぶことで
それって、普通に無限次元ベクトル（＝いかなる任意有限n より大という意味）で
多項式の次数は普通に無限次（＝いかなる任意有限n より大という意味）で
すよねｗ

一旦、ここまでを枕とするｗ；ｐ）

(参考)
www.ma.huji.ac.il/hart/
Sergiu Hart
www.ma.huji.ac.il/hart/#puzzle
Some nice puzzles:
www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
Choice Games November 4, 2013
P1
Consider the following two-person game game1:1 • Player 1 chooses a countably infinite sequence x = (xn)n∈N of real numbers, and puts them in boxes labeled 1,2, ...

つづく

418: １３２人目の素数さん [] 02/09(日)11:44 ID:inAESbT0(1/4)
フン

419(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/09(日)11:45 ID:lz6oAIdr(8/12)
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0
形式的冪級数
A を可換とは限らない環とする。A に係数をもち X を変数（不定元）とする
形式的冪級数全体からなる集合 A[[X]] に和と積を定義して環の構造を与えることができ、これを形式的冪級数環という

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E7%92%B0
多項式環
体上の一変数多項式環 K[X]

（rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/16 より再録）
www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学I 都築暢夫広島大
F を体とする
P3
例3.2.多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である
証明. 1,x,··· ,xnがF[x]nの基底になること: 1,x,··· ,xnがF[x]nを生成することは明らか
a0,··· ,an∈Fに対してa0+a1x+···+anxn=0とするとき、a0=a1=···an=0となることをnに関する帰納法で証明する
n=0のときは明らか。n−1まで成り立つとする。x=0とすると、a0=0である
(a1+ a2x+···+anxn−1)x=0より、a1+a2x+···+anxn−1=0である
帰納法の仮定から、a1=···an=0となる。よって、1,x,··· ,xnは一次独立である
したがって、1,x,··· ,xnはF[x]nの基底になる■

maspypy.com/%E5%A4%9A%E9%A0%85%E5%BC%8F%E3%83%BB%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E3%81%B9%E3%81%8D%E7%B4%9A%E6%95%B0%E6%95%B0%E3%81%88%E4%B8%8A%E3%81%92%E3%81%A8%E3%81%AE%E5%AF%BE%E5%BF%9C%E4%BB%98%E3%81%91
maspyのHP 2023.09.25
[多項式・形式的べき級数]
（１）数え上げとの対応付け
（２）式変形による解法の導出
（３）線形漸化式と形式的べき級数
概要
ある種の数え上げの計算は、多項式・形式的べき級数に対する計算と結び付けることができます。数え上げの問題を、多項式・形式的べき級数に対する計算と読み替えて、代数的な式変形により答を得る手法が、競技プログラミングにおいても注目され始めているようです
(引用終り)
以上

420(1): １３２人目の素数さん [] 02/09(日)11:56 ID:inAESbT0(2/4)
418-->416

421: １３２人目の素数さん [sage] 02/09(日)12:01 ID:h/rU8tE5(6/6)
>>420
なんだ、「御大」はやっぱりp進数体の重要性が分かってないの？
ってことは、「昔のひと」は知らなかった未知の宝が埋まってる可能性大だなｗ

422(1): １３２人目の素数さん [] 02/09(日)12:03 ID:erxXzwp/(1/23)
>>411
>しかしだから、lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！
>は、ありだよ
{・・{{{}}}・・}_ωは集合なの？　集合ならその元は何？

423: １３２人目の素数さん [] 02/09(日)12:04 ID:inAESbT0(3/4)
formal principleの特別な場合
ファルティングスもその辺から出発した

424: １３２人目の素数さん [] 02/09(日)12:05 ID:erxXzwp/(2/23)
>>411
まさかそういう考察無しに口から出まかせで言ってないよね？
じゃあ逃げずに答えてね

425: １３２人目の素数さん [] 02/09(日)12:08 ID:inAESbT0(4/4)
難しいな

426: １３２人目の素数さん [] 02/09(日)12:19 ID:erxXzwp/(3/23)
>>412
>>実数のコーシー列なのに、実数の極限を持たないもの
>>を１つ示してくれるかな
>君が何を言っているか不明だが
君、実数知らないの？　コーシー列知らないの？　数列の極限知らないの？
何を言ってるか不明ってことはそういうことだよね？

427(1): １３２人目の素数さん [] 02/09(日)12:40 ID:erxXzwp/(4/23)
>>422
どうせおサルさんは逃げるので代わりに答えてあげよう。

{・・{{{}}}・・}_ωが集合であると仮定すると、その元は一番外側の括弧を外したもの。
しかしωは後続順序数ではないのでその前者は存在しない。よって一番外側の括弧を外すことができない。
集合なのに一番外側の括弧を外すことができないのは矛盾だから、集合であるとした仮定が誤り。
つまり
>しかしだから、lim n → ω ω := {・・{{{}}}・・}_ω と定義してしまえ！
は、ある不明なものを別の不明なもので定義しただけであり、結局何の定義にもなっていない。

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