[過去ﾛｸﾞ] ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
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10(31): １３２人目の素数さん [] 02/01(土)08:50 ID:lDxwqd7y(10/16)
つづき
・自然数 ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E7%84%B6%E6%95%B0
『形式的な定義 自然数の公理
以上の構成(注 ノイマン構成)は、自然数を表すのに有用で便利そうな定義を選んだひとつの結果であり、他にも自然数の定義は無限にできる。これはペアノの公理を満たす後者関数 suc(a) と最小値の定義が無限に選べるからである。
例えば、0 := {}, suc(a) := {a} と定義したならば、
0 := {}
1 := {0} = {{}}
2 := {1} = {{{}}}
3 := {2} = {{{{}}}}
と非常に単純な自然数になる』
・0＜1＜2＜3＜・・・
{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・
ここで
{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・
と書ける
何が言いたいか？
{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を逆に辿れば
{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ となり
0＜1＜2＜3＜・・・ となる
・つまり、{}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ において
∈を＜に書き換える
そうして、{}→0、{{}}→1、{{{}}}→2、{{{{}}}}→3、・・・
と順序数の背番号がついていると思え
あるいは、例えば {{{}}}→2 ならば、括弧{}の多重度を基準に整列していると考えれば良い（括弧{}の多重度-1が、順序数に相当している）
・このように、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を、順序関係＜に置き換えて
{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ として、整列集合と考えることができる（整列可能定理の主張はこれ）
・おサルさん、なにをとち狂ったか、列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・ が、整列していることを否定する
上記『{}∈{{{}}} は偽』とか、勝手な妄想を沸かす。ほんと、エンタの王で笑いを取る名人だね
私には、単なるアホとしか思えないがｗ ；ｐ）
以上
あと
＜乗数イデアル関連（含む層）＞の話や
文学論、囲碁の話もあります
これも、5ｃｈらしくて良いと思いますｗ
テンプレは、以上です
11: １３２人目の素数さん [] 02/01(土)11:09 ID:YIkJbYsl(1/11)
>>10
{}∈{{{}}} は偽
{{{}}}の元は{{}}のみだから
分からなければ中学数学からやり直そう
12: １３２人目の素数さん [] 02/01(土)11:15 ID:YIkJbYsl(2/11)
>>10
>列 {}∈{{}}∈{{{}}}∈{{{{}}}}∈・・・を、順序関係＜に置き換えて
>{}＜{{}}＜{{{}}}＜{{{{}}}}＜・・・ として、整列集合と考えることができる
大間違い
整列順序どころかそもそも順序でない
なぜなら {}∈{{{}}} は偽のため順序の要件である推移律を満たさないから
定義を確認せず独りよがりに妄想するから間違える
13: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 02/01(土)17:52 ID:lDxwqd7y(11/16)
alg-d 壱大整域氏
動画解説
”【順序数入門3】順序数を使った証明の例：Zornの補題”
貼ります
alg-d.com/math/ac/
alg-d 壱大整域
トップ > 数学 > 選択公理
選択公理
お知らせ
このページの内容が紙の本になりました。Amazonで購入できます。
選択公理: 同値な命題とその証明
選択公理と同値な命題一覧
選択公理と同値な命題とその証明 動画版(AC⇒Zornのみ)
youtu.be/Lg5pPZlSHfw?t=1
【順序数入門3】順序数を使った証明の例：Zornの補題
alg-d
2,846 回視聴 2023/04/30
14(13): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 02/01(土)17:57 ID:lDxwqd7y(12/16)
前スレ 再録
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/907
いつもお世話になっている
alg-d 壱大整域氏
選択公理→ (整列可能定理)
これ分かり易いかも
”写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )”で
順序数 → X∪{∞} （実質 Xのこと）
なる g を 導入しているんだ
で、写像 g の全単射を 言う
なるほどね
そうすると、置換公理を使う証明は、無理筋かも
循環論法になる恐れがある、多分 （不可能の証明は 難しいので いまは深入りしないことに）
(参考)（蛇足だが P(X)は、Xの冪集合。なお。原サイトの方が見やすいよ）
alg-d.com/math/ac/wo_z.html
alg-d 壱大整域
トップ > 数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題
2011年11月13日更新
整列可能定理とZornの補題
定理次の命題は(ZF上)同値．
1.選択公理
2.任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理)
3.順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)
証明
(1 ⇒ 2)
Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す．
順序数λで，¬|λ|≦|X| となるものを取る．
選択公理を A := P(X)＼{ ∅ } に適用して，選択関数 f: A→X を得る．
Xに含まれない元 ∞ ∉ X を用意して，f( ∅ ) := ∞ と定義することで f を f: P(X)→X∪{∞} に拡張しておく．
写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )
で定義する．
α, β<λに対して，g(α)=g(β)≠∞ならば，α=βである．
∵β<αであるとする．g(α)≠∞だから，選択関数 f の性質より g(α) = f(X＼{g(β)|β<α}) ∈ X＼{g(β)|β<α} となる．即ち g(α) ∉ { g(β) | β<α } だから g(α)≠g(β) である．
よって，もし g(α) = ∞ となるα<λが存在しなければ，g:λ→X は単射となる．
これは ¬|λ|≦|X| に矛盾する．故に g(α) = ∞ となる α<λ は存在する．
そこで γ := min{ α<λ | g(α)=∞ }と置く．このときg|γ: γ→X は全単射である．
∵∞ = g(γ) = f( X＼{g(β)|β<γ} )だから，X＼{g(β)|β<γ} = ∅，つまりg|γは全射でなければならない．単射性は先に示したことから明らか．
よってこれによりXを整列する事ができる．
(2 ⇒ 3)略す
(3 ⇒ 1)略す
おまけ
(2⇒1)略す
15(8): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 02/01(土)18:17 ID:lDxwqd7y(13/16)
前スレより 再録
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1735693028/913
alg-d 壱大整域氏 >>907の
証明 (1 ⇒ 2) の本質は
Xの冪集合 P(X)＼{ ∅ } に 選択公理の選択関数 を適用すると
それが 如何なる 選択関数を採用したとしても
”写像 g:λ→X∪{∞} を
g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )”
なる g を 導入して
順序数 → X∪{∞} （実質 Xのこと）
の 全単射 写像 g が構成できる
順序数と Xとの 全単射 が構成できるということは、
即ち Xに整列順序が導入できたということ
(引用終り)
簡単に補足する
いま、ミニモデルで 集合X={a,b,c,d}を考える
冪集合を作る
P(X)={ {a,b,c,d},
{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
{a,b},{a,c},{b,c}, {a,b},{a,d},{b,d}, {a,c},{a,d},{c,d}, {b,c},{b,d},{c,d},
{a},{b},{c,},{d},
∅ }
となる
説明すると、最初にX 自身 4元の集合があり
次に、X から元が一つ減った 3元の集合があり
次に、X から元が二つ減った 2元の集合があり
次に、X から元が三つ減った 1元の集合があり
最後に 元が無くなった 空集合がある
で、Xから任意の元を取った 集合、 必ず 3元の集合が存在し
その ある3元の集合から 任意の元を取った 集合、 必ず 2元の集合が存在し
その ある2元の集合から 任意の元を取った 集合、 必ず 1元の集合が存在し
という構造を、べき集合が有している
そのべき集合の構造を うまく使ったのが >>14の alg-d 壱大整域氏の証明だと
いうことです
繰り返すが、上記有限の集合で例示したのと同じことを
順序数をうまく使うことで、無限集合に拡張し 適用したってことでね
16: １３２人目の素数さん [] 02/01(土)18:28 ID:YIkJbYsl(3/11)
>>14
>なる g を 導入しているんだ
>で、写像 g の全単射を 言う
>なるほどね
いやそれ、Jechの証明のaα、つまりAの元への順序数による附番と同じことを違う言い方で言ってるだけだから
君Jechの証明を全然分かってなかったんだね
17(3): １３２人目の素数さん [] 02/01(土)18:30 ID:YIkJbYsl(4/11)
>>14
で、以下はいつ答えるの？
まさか分かってないのに分かってるふりしてたの？
（引用開始）
>順序数は、整列順序であるから
>Aに整列順序が導入できた
順序数の通常の大小関係が整列順序だとなぜAに整列順序が導入できたことになるか分かる？
（引用終了）
18: １３２人目の素数さん [] 02/01(土)18:32 ID:YIkJbYsl(5/11)
>>15
>簡単に補足する
分かってない人が補足しなくていいから
19: １３２人目の素数さん [] 02/01(土)18:38 ID:YIkJbYsl(6/11)
>>15
>で、Xから任意の元を取った 集合、 必ず 3元の集合が存在し
>その ある3元の集合から 任意の元を取った 集合、 必ず 2元の集合が存在し
>その ある2元の集合から 任意の元を取った 集合、 必ず 1元の集合が存在し
>という構造を、べき集合が有している
自明。
Xの冪集合とはXの部分集合全体の集合なんだから。構造を有するもクソも無い。
ナンセンスな補足は不要。
20: １３２人目の素数さん [] 02/01(土)18:48 ID:YIkJbYsl(7/11)
>>15
どうでもいいけど、旧スレまだ残ってんのに逃げるように新スレに投稿すんのやめない？
21(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 02/01(土)19:16 ID:lDxwqd7y(14/16)
>>15 さらに補足
この説明で分るように
X から最初に選ぶ元
その残りから 次に選ぶ元
その残りから 次に選ぶ元
・
・
・
全部、任意で良い
Xの元を すきな順番に整列できる
ということです
22(1): １３２人目の素数さん [] 02/01(土)19:43 ID:YIkJbYsl(8/11)
>>21
>Xの元を すきな順番に整列できる
大間違い。
順番は選択関数で一意に定まる。
>X から最初に選ぶ元
>その残りから 次に選ぶ元
>その残りから 次に選ぶ元
> ・
> ・
> ・
>全部、任意で良い
だから選択関数は存在さえすれば任意でよい。
君はまだ任意じゃダメな反例から逃げ続けているが。
23(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 02/01(土)19:46 ID:lDxwqd7y(15/16)
>>15 さらに補足
例えば
集合Xについて 有限ミニモデルで示したが
{a,b,c,d}⊃{a,c,d}⊃{a,d}⊃{d}
という包含関係があり
そこから Xの元の整列で
b1 < c2 < a3 < d4
という順序数の付番ができて、順序数の整列順序が 集合Xに入る
同様に
X＼{g(β)|β<α} も同じで
X⊃X＼{x1}⊃X＼{x1,x2}⊃・・⊃X＼{x1,x2,・・,xβ-1}⊃X＼{x1,x2,・・,xβ}⊃X＼{x1,x2,・・,xβ+1},・・
という包含関係があり
そこから Xの元の整列で
x1,x2,・・,xβ-1,xβ,xβ+1,・・
という順序数の付番ができて、順序数の整列順序が 集合Xに入る
24: １３２人目の素数さん [] 02/01(土)20:01 ID:YIkJbYsl(9/11)
>>23
足し算が分かった小学生みたいにはしゃぐなよ
25: １３２人目の素数さん [] 02/01(土)20:05 ID:YIkJbYsl(10/11)
>>23
はしゃぎたい気持ちは分かるが>>17にはいつ答えるの？
これに答えないと分かったとは言えないぞ はしゃぐのはまだ早い
26(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 02/01(土)20:06 ID:lDxwqd7y(16/16)
”＜公開処刑 続く＞
（『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』に向けて と
(あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”]
『 ZF上で実数は どこまで定義可能なのか？』の前に
Zornの補題 をやります ；ｐ）
まず、ここから
(参考)>>14より 再録
alg-d.com/math/ac/wo_z.html
alg-d 壱大整域
トップ > 数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題
2011年11月13日更新
整列可能定理とZornの補題
定理次の命題は(ZF上)同値．
1.選択公理
2.任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理)
3.順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)
証明
(3(Zornの補題) ⇒ 1(選択公理))
{X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする．
A := { g:Σ→∪_{λ∈Λ} X_λ | Σ⊂Λ, 任意のλ∈Σに対してg(λ)∈Xλ }
としてAに ⊂ で順序を入れる．B⊂Aを部分全順序集合とするとき ∪g∈B g ∈ A は B の上界である．
即ち A はZornの補題の仮定を満たす．故に極大元 f∈A を持つ．
もし dom(f)≠Λ であれば f が極大であることに反するので dom(f)=Λ となる．故に f は選択関数である．
27: １３２人目の素数さん [] 02/01(土)20:06 ID:YIkJbYsl(11/11)
あと任意の選択関数ではダメな命題の例を早く答えてね
28(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/02(日)11:23 ID:5scbwZz/(1/12)
>>22
(引用開始)
>Xの元を すきな順番に整列できる
大間違い。
順番は選択関数で一意に定まる。
(引用終り)
＜反証＞
1）選択公理（選択関数）と整列可能定理が 同値であることを認めるとする
2）集合Xについて、整列可能定理を適用する
Xから好きな元x1∈Xを取り出す。残り X':=X＼ {x1}
X'から好きな元x2∈X'を取り出す。残り X'':=X'＼ {x2}
すきなだけ繰り返す。その後に残ったものに 整列可能定理を適用する
3）さて、上記2）で そもそも 整列可能定理とは
最後が空集合になるまで繰り返して良いとするものだった
なので、整列可能定理における ”お好きなように”は、選択公理（選択関数）でも同じ
4）実際、下記 alg-d 壱大整域 整列可能定理 ⇒ 選択公理（選択関数）の証明で
”整列可能定理により∪_{λ∈Λ}X_λを整列し f(λ) := (X_λの最小元) とすれば f が選択関数である”
とあるが、和集合 ∪_{λ∈Λ}X_λ の整列を 好きにして良いならば、
f(λ) := (X_λの最小元) も好きにできる。つまり、f 選択関数 も好きにできる■
余談だが、”Take your choice”（好きなものを取りなさい）goo辞書 dictionary.goo.ne.jp/word/en/Take+your+choice./
choice には、お好きなように という意味がある
なお、存在のみで 具体的でない場合も可
例えば、実数Rの整列では、分るところのみを お好みにして、残りの 不明部分は 存在のみの公理任せも可！ｗ ；ｐ）
公理なんだものｗｗ
(参考)（原サイトの方が見やすいよ）>>14より
alg-d.com/math/ac/wo_z.html
alg-d 壱大整域
トップ > 数学 > 選択公理 > 整列可能定理とZornの補題
2011年11月13日更新
整列可能定理とZornの補題
定理次の命題は(ZF上)同値．
1.選択公理
2.任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理)
3.順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)
証明
(2⇒1)
{X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする．整列可能定理により∪_{λ∈Λ}X_λを整列し f(λ) := (X_λの最小元) とすれば f が選択関数である．
29: １３２人目の素数さん [] 02/02(日)12:17 ID:7z4Dw9JT(1/18)
>>28
>2）集合Xについて、整列可能定理を適用する
> Xから好きな元x1∈Xを取り出す。残り X':=X＼ {x1}
> X'から好きな元x2∈X'を取り出す。残り X'':=X'＼ {x2}
> すきなだけ繰り返す。
無意味。
なぜなら「好きな元を取り出す」は有限回しか許されないので、ほとんどすべての元の取り出しは選択関数に支配されているから。
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