ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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185(2): １３２人目の素数さん [] 02/05(水)08:21 ID:5j19JkQh(2/2)
>>182
> ある空間の基底の存在定理、次元定理から
> 具体的な基底候補が、実際の基底として採用できることが分る
　じゃ、RをQ上の線形空間としてみたときの基底を、具体的に構成してみてくれる？

　できるものならな

186(2): １３２人目の素数さん [] 02/05(水)08:48 ID:DBPzopUM(1/2)
>>185
そういう理屈が通じない相手であることがわからないということが
わからない

187(1): １３２人目の素数さん [] 02/05(水)08:55 ID:xZiVkAA/(1)
>>186
> そういう理屈が通じない相手であることが
　わかってる
> わからないということがわからない
あきらめたらそこで試合終了ですよ
https://dic.pixiv.net/a/%E3%81%82%E3%81%8D%E3%82%89%E3%82%81%E3%81%9F%E3%82%89%E3%81%9D%E3%81%93%E3%81%A7%E8%A9%A6%E5%90%88%E7%B5%82%E4%BA%86%E3%81%A7%E3%81%99%E3%82%88

188(1): １３２人目の素数さん [] 02/05(水)09:03 ID:E9rrHVSa(1)
●●公がここに書くのを諦めないなら
我々も彼に対する「教育」を諦めない

どこぞの大学の●●名誉教授様とは違う

189: １３２人目の素数さん [] 02/05(水)10:18 ID:DBPzopUM(2/2)
勝手に書かせておけと思えない理由が
わからない

190: １３２人目の素数さん [] 02/05(水)10:48 ID:wxM+XkyV(1/8)
>>113
誰かさんはギブアップのようなので。

>問１　(2,-1,-1),(-1,2,-1),(-1,-1,2)は、線形独立？
[定義]体F上の線型空間Vの元v1,・・・,vnが線型独立：∀f1,・・・,fn∈F.Σ[k=1,n]fkvk=0⇒f1=・・・=fn=0。線型独立でなければ線型従属。
[証明]
(2,-1,-1)+(-1,2,-1)+(-1,-1,2)=(0,0,0)なので線型従属。

>問２　R^nの次元がｎであることはどうやって証明される？
[定義]線型空間Vの部分集合Bが線型独立性と全域性を満たすときBはVの基底。Vの次元=|B|。
[証明]
i∈I:={1,2,・・・,n} とする。
ei∈R^n をi番目の成分=1且つ他の成分=0である元とする。{ei|i∈I} は自明に線型独立。（線型独立性）
∀r∈R^n の i番目の成分を ri と書く。このとき r=Σ[i∈I]riei であるから {ei|i∈I} は R^n を張る。（全域性）
以上から {ei|i∈I} は R^n の基底であり、R^n の次元はn。

>問３　直接法からどんな手間が省けるか、どんな手間が省けないか　それぞれ具体的に示せる？
省ける手間：全域性の証明。省けない手間：線型独立性の証明。

191: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/05(水)10:50 ID:hl9U/ln8(1/5)
>>182 補足

・Hilbert spaceの Hilbert dimension は、下記
"As a consequence of Zorn's lemma, every Hilbert space admits an orthonormal basis; furthermore, any two orthonormal bases of the same space have the same cardinality, called the Hilbert dimension of the space.[94]"
(which may be a finite integer, or a countable or uncountable cardinal number).
・”The Hilbert dimension is not greater than the Hamel dimension (the usual dimension of a vector space).”
　”As a consequence of Parseval's identity,[95] 略 ”
・なお、>>146-147 "Proof that every vector space has a basis"では、有限和は陽には使われていない
　なので ”The set X is nonempty since the empty set is an independent subset of V, and it is partially ordered by inclusion, which is denoted, as usual, by ⊆.
　Let Y be a subset of X that is totally ordered by ⊆, and let LY be the union of all the elements of Y (which are themselves certain subsets of V).
　Since (Y, ⊆) is totally ordered, every finite subset of LY is a subset of an element of Y, which is a linearly independent subset of V, and hence LY is linearly independent. Thus LY is an element of X. Therefore, LY is an upper bound for Y in (X, ⊆): it is an element of X, that contains every element of Y.
　As X is nonempty, and every totally ordered subset of (X, ⊆) has an upper bound in X, Zorn's lemma asserts that X has a maximal element. In other words, there exists some element Lmax of X satisfying the condition that whenever Lmax ⊆ L for some element L of X, then L = Lmax.”
　とやっているので、⊆ による順序は Hilbert space でもそのまま使える
　あとは、直交基底と位相的な収束の話を色付けすれば、よさそうだ

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_space
Hilbert space

Hilbert dimension
As a consequence of Zorn's lemma, every Hilbert space admits an orthonormal basis; furthermore, any two orthonormal bases of the same space have the same cardinality, called the Hilbert dimension of the space.[94] For instance, since l^2(B) has an orthonormal basis indexed by B, its Hilbert dimension is the cardinality of B (which may be a finite integer, or a countable or uncountable cardinal number).

The Hilbert dimension is not greater than the Hamel dimension (the usual dimension of a vector space).

As a consequence of Parseval's identity,[95] if {ek}k ∈ B is an orthonormal basis of H, then the map Φ : H → l^2(B) defined by Φ(x) = ⟨x, ek⟩k∈B is an isometric isomorphism of Hilbert spaces: it is a bijective linear mapping such that
⟨Φ(x),Φ(y)⟩l^2(B)=⟨x,y⟩H
for all x, y ∈ H. The cardinal number of B is the Hilbert dimension of H. Thus every Hilbert space is isometrically isomorphic to a sequence space l^2(B) for some set B.

192(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/05(水)11:10 ID:hl9U/ln8(2/5)
”＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”]

>>185-188
>あきらめたらそこで試合終了ですよ

ふっふ、ほっほ
こっちは、＜公開処刑続く＞
(あほ二人の”アナグマの姿焼き")のつもり

しかし、低レベルのバトルでは、観客も面白くないだろうから
いまはおサル>>7-10の、選択公理（選択関数）の誤解・無理解を
徹底的にあぶりだしているのですｗ；ｐ）

おサルにしたらあきらめたらそこで試合終了だわなｗ
がんばれよ、おサルｗｗ；ｐ）

さて >>185
(引用開始)
> ある空間の基底の存在定理、次元定理から
> 具体的な基底候補が、実際の基底として採用できることが分る
　じゃ、RをQ上の線形空間としてみたときの基底を、具体的に構成してみてくれる？
　できるものならな
(引用終り)

・いま、”具体的な基底候補”があればという話だ
　それに対して、具体的に構成できないことを持ち出しても反論になってないぞｗ；ｐ）
・RをQ上の線形空間としてみたときの基底（R/Qで）
　すべての基底を具体的に明示することはできないが
　ある有限n個の無理数で基底 b1,b2,・・,bn を選んで、それらが Q上一次独立にはできそうだな
　そして、残りの部分を存在定理に丸投げすれば、良い
　n → 可算無限にできそうな気がする（すぐには成否の判断ができないが）
　そして、残りの部分を存在定理に丸投げすれば、良いｗ

193(1): １３２人目の素数さん [] 02/05(水)11:42 ID:7GP3k7Nu(1/2)
>>192
＞いま、”具体的な基底候補”があればという話だ
　なんで、具体的な候補があるのに、選択公理使う奴がいるの？
　候補が実際、基底であることを示せばいいだけじゃん　馬鹿？

194: １３２人目の素数さん [] 02/05(水)11:43 ID:7GP3k7Nu(2/2)
>>193
＞残りの部分を存在定理に丸投げすれば、良い
　おまえ、考える能力がない馬鹿だろ？

195: １３２人目の素数さん [] 02/05(水)11:46 ID:FxXBQqZG(1/2)
だいたい、全部が具体的に示せるかという問いに、
「一部なら示せる（どやぁ）　残りは魔法を使う」
とかいう奴は、人の話が聞けない●●山の●●公

196: １３２人目の素数さん [] 02/05(水)11:49 ID:FxXBQqZG(2/2)
◆yH25M02vWFhPは、
「ボクちゃん、国立大学の入試に合格したから賢いもん」
とか思ってるようだけど

所詮高校卒業レベルのことしか出題されない大学入試試験に
答えられたくらいでドヤ顔すんな　イタイタしいな

特に数学に関しては、高校卒業レベルなんて実に大したことない

197(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/05(水)11:54 ID:hl9U/ln8(3/5)
>>192 補足
>n → 可算無限にできそうな気がする（すぐには成否の判断ができないが）

例えば
√2(=2^1/2), 2^(1/3), 2^(1/4),・・ 2^(1/m),・・ 2^(1/n),・・・
で、任意 2^(1/m) - 2^(1/n) （m≠n）が有理数でなければ良い

あるいは
√2(=2^1/2), 2^(1/2)^2, 2^(1/2)^3,・・ 2^(1/2)^m,・・ 2^(1/2)^n,・・・
で、任意 2^(1/2)^m - 2^(1/2)^n （m≠n）が有理数でなければ良い

mとnの２重数学的帰納法で証明できるかも・・、しらんけど

198: １３２人目の素数さん [] 02/05(水)11:57 ID:wxM+XkyV(2/8)
>>192
>いまはおサル>>7-10の、選択公理（選択関数）の誤解・無理解を
>徹底的にあぶりだしているのですｗ；ｐ）
好きな順番で整列できるだの、aαでfを定義するだのこそ誤解・無理解

199(1): １３２人目の素数さん [] 02/05(水)12:41 ID:wxM+XkyV(3/8)
>>197
>n → 可算無限にできそうな気がする（すぐには成否の判断ができないが）
>mとnの２重数学的帰納法で証明できるかも・・、しらんけど
できません。
数学的帰納法の結論は「任意の自然数に関する命題P(n)が真」です。
高校数学からやり直した方が良いのでは？

200(1): １３２人目の素数さん [] 02/05(水)12:41 ID:KZr3dXIi(1/2)
>>197
> n → 可算無限にできそうな気がする

君、乙？

201(1): １３２人目の素数さん [] 02/05(水)12:44 ID:KZr3dXIi(2/2)
>>197
> mとnの２重数学的帰納法で証明できるかも・・

任意の実数が、2のn乗根の有理数倍の有限和で表せる、と本気で思い込むとか
乙をはるかにしのぐ、ウルトラスーパー●違いがいたわ（驚）

202(3): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/05(水)13:33 ID:hl9U/ln8(4/5)
＜公開処刑続く＞
（『 ZF上で実数はどこまで定義可能なのか？』に向けてと
　 (あほ二人の”アナグマの姿焼き") に向けてｗｗ；ｐ） rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/”]

>>199
(引用開始)
>n → 可算無限にできそうな気がする（すぐには成否の判断ができないが）
>mとnの２重数学的帰納法で証明できるかも・・、しらんけど
できません。
数学的帰納法の結論は「任意の自然数に関する命題P(n)が真」です。
高校数学からやり直した方が良いのでは？
(引用終り)

ふっふ、ほっほ
それ、下記の”F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である”
の証明 by 都築暢夫広島大 (いま東北大)
が間違っていると？それ都築暢夫先生に教えてあげてね！ｗ；ｐ）

なお、おサルさん>>7-10は
存在を示す選択公理（選択関数）のポジティブな面を見ようとせず
ネガティブな面のみを強調するが、それ自分の数学レベルの低さを自白しているに等しい

(参考)
（rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1736907570/16 より再録）
www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/member/files/tsuzuki/04-21.pdf
代数学I 都築暢夫広島大
F を体とする
P3
例3.2.多項式環F[x]. F[x]nは1,x,··· ,xnを基底に持つn+1次元線形空間である
F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である
証明. 1,x,··· ,xnがF[x]nの基底になること: 1,x,··· ,xnがF[x]nを生成することは明らか
a0,··· ,an∈Fに対してa0+a1x+···+anxn=0とするとき、a0=a1=···an=0となることをnに関する帰納法で証明する
n=0のときは明らか。n−1まで成り立つとする。x=0とすると、a0=0である
(a1+ a2x+···+anxn−1)x=0より、a1+a2x+···+anxn−1=0である
帰納法の仮定から、a1=···an=0となる。よって、1,x,··· ,xnは一次独立である
したがって、1,x,··· ,xnはF[x]nの基底になる■
(引用終り)

203: １３２人目の素数さん [] 02/05(水)13:41 ID:wxM+XkyV(4/8)
>>202
>したがって、1,x,··· ,xnはF[x]nの基底になる■
は任意の自然数nに関する命題なので数学的帰納法を適用できますけど？

>それ、下記の”F線形空間F[x]は任意の自然数より大きい次元の部分空間を持つから無限次元である”
>の証明 by 都築暢夫広島大 (いま東北大)
>が間違っていると？
間違ってるのは数学的帰納法で非自然数に関する命題を証明できるとかほざいてるあなたです。
高校数学からやり直した方が良いのでは？

204(1): １３２人目の素数さん [] 02/05(水)13:44 ID:wxM+XkyV(5/8)
>>202
>なお、おサルさん>>7-10は
>存在を示す選択公理（選択関数）のポジティブな面を見ようとせず
>ネガティブな面のみを強調するが、それ自分の数学レベルの低さを自白しているに等しい
好きな順番で整列できるだの、aαでfを定義するだのほざいてる人こそ自分の数学レベルの低さを自白しているに等しい

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