ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13

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138(1): １３２人目の素数さん [] 02/04(火)13:25 ID:kyySIsuH(9/19)
>>137
それだと好きな順番での整列は無理だね

139(1): １３２人目の素数さん [] 02/04(火)13:31 ID:OopCfj4Z(7/7)
わからない

140(1): １３２人目の素数さん [] 02/04(火)13:35 ID:R6/c8E8d(1/2)
>>136

3<5<…　<6<10<…　<12<20<…
<2^3<2^5<…　<2^6<2^10<…　<2^12<2^20<…
<2^2^3<2^2^5<…　<2^2^6<2^2^10<…　<2^2^12<2^2^20<…

　も順序数ω^ω（可算）

141(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/04(火)16:04 ID:+HgMDnV2(2/11)
皆さまお楽しみ中、お邪魔です；ｐ）

>>118
>◆yH25M02vWFhPは、次元定理の「背後の数学の構造」が全く分かってない
>だから>>115みたいなことを平気で言う
>次元定理のステートメント、確認してみ？
>おまえが想像してるものと全然違うから
>https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E6%95%B0%E3%83%BB%E9%80%80%E5%8C%96%E6%AC%A1%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

えーと、おサルさん>>7-10
いきなり難しい定理のサイトに飛んで消化不良ですよ
まず順番として下記高校数学の美しい物語次元定理の意味，具体例，証明
さらに数学の風景線形写像の次元定理dim V = rank f + dim ker fの証明
を見なさい。後者は、図解が美しいよ。

その上で英 wikipedia
”等しい有限次元のベクトル空間の線型変換の場合、単射性または全射性のいずれかが全単射性を意味することになります。
（原文 It follows that for linear transformations of vector spaces of equal finite dimension, either injectivity or surjectivity implies bijectivity.）”
が、キモです。百回音読しましょうねｗ；ｐ）

(参考)
https://manabitimes.jp/math/1077
高校数学の美しい物語
次元定理の意味，具体例，証明 2021/03/07
行列における次元定理
A を m×n 実行列とするとき，
rankA+dim(KerA)=n
目次
次元定理について
具体例
次元定理のイメージ
次元定理の証明
次元定理について
rankA は
A のランク（階数）です。→行列のランクの意味（８通りの同値な定義）
dim は次元，
KerA は
A のカーネル（核）です。→行列のカーネル（核）の性質と求め方

「ランク，次元，カーネルってなんだ，全部初耳だよ」って方は，以下の具体例とイメージを見てなんとなく雰囲気をつかんでください。
次元定理は行列に対してではなく一般の線形写像について述べられることも多いです。ただし意味はほとんど同じなので，行列の場合できちんと理解しておけばOKです。
Wikipediaでは「階数・退化次数の定理」と呼ばれています。

次元定理の証明（分かり易い原文参照請う）
略す

https://mathlandscape.com/rank-ker-dim/
数学の風景
線形写像の次元定理dim V = rank f + dim ker fの証明 2023.05.10

証明
Imf,Kerf はベクトル空間であったことに注意(→ 線形写像の像(Im),核(Ker)の定義とそれが部分空間になる証明)。

V の基底になっていることを示すには，
それらが一次独立であること
任意の v∈V がそれらの一次結合でかけること
を示せばよい。順番に示していこう。
略す

つづく

142: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/04(火)16:04 ID:+HgMDnV2(3/11)
つづき

英 wikipedia
https://en.wikipedia.org/wiki/Rank%E2%80%93nullity_theorem
Rank–nullity theorem
(google訳)
ランク-ヌル定理（階数零定理）
階数零定理は線型代数学の定理であり、次のことを主張します。
略す
したがって、等しい有限次元のベクトル空間の線型変換の場合、単射性または全射性のいずれかが全単射性を意味することになります。
（原文 It follows that for linear transformations of vector spaces of equal finite dimension, either injectivity or surjectivity implies bijectivity.）

再定式化と一般化
この定理は、ベクトル空間の場合の代数学の第一同型定理の記述であり、分割補題に一般化されます。

より現代的な言葉で言えば、この定理はベクトル空間の短完全列はそれぞれ分割される、と表現することもできる。
略す

A third fundamental subspace
When T:V→W is a linear transformation between two finite-dimensional subspaces, with
n=dim(V) and m=dim (W) (so can be represented by an m×n matrix M),
the rank–nullity theorem asserts that if T has rank r, then n−r is the dimension of the null space of M, which represents the kernel of T.
In some texts, a third fundamental subspace associated to T is considered alongside its image and kernel: the cokernel of T is the quotient space
W/Im(T), and its dimension is m−r.
This dimension formula (which might also be rendered
dim Im(T)+dimCoker(T)=dim(W)
together with the rank–nullity theorem is sometimes called the fundamental theorem of linear algebra.[7][8]

再定式化と一般化
この定理は、ベクトル空間の場合の代数学の第一同型定理の記述であり、分割補題に一般化されます。
より現代的な言葉で言えば、この定理はベクトル空間の短完全列はそれぞれ分割される、と表現することもできる。
0→U→V→R→0
はベクトル空間の短完全列であるので、
U⊕R≅Vしたがって
dim（U）+ dim（R）=dim（V）.
略す
We see that we can easily read off the index of the linear map
T from the involved spaces, without any need to analyze
T in detail. This effect also occurs in a much deeper result: the Atiyah–Singer index theorem states that the index of certain differential operators can be read off the geometry of the involved spaces.

つづく

143: 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/04(火)16:04 ID:+HgMDnV2(4/11)
つづき

ついでに
独 wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz
Rangsatz
Der Rangsatz oder Dimensionssatz ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Er zeigt einen Zusammenhang zwischen den Dimensionen der Definitionsmenge, des Kerns und des Bildes einer linearen Abbildung zwischen zwei Vektorräumen auf.
（google 英訳）
Table of contents
1 Sentence
2 Proofs
2.1 Proof of the Homomorphism Theorem
2.2 proof by basis completion
3 reversal
4 generalization

仏 wikipedia
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_du_rang
Théorème du rang
（google 英訳）
Rank theorem
In mathematics , and more precisely in linear algebra , the rank theorem links the rank of a linear application and the dimension of its kernel . It is a corollary of an isomorphism theorem . It can be interpreted by the notion of linear application index .
In finite dimension, it allows in particular to characterize the invertibility of a linear application or of a matrix by its rank.
(引用終り)
以上

144: １３２人目の素数さん [] 02/04(火)16:22 ID:Sli2Vii+(1/2)
>>141
お○○はあんただろ

>難しい定理

難しい？君にとって？
数学科の学生にとっては易しいけどな
そうでないなら数学科卒業できない

>線形写像の次元定理dim V = rank f + dim ker fの証明

rank f=dim im f だから
dim V = dim im f + dim ker f

有限次元の場合、dim V = dim im f　だったら
dim ker f=0 だから R^nの標準基底の像が線形独立なら
当然基底になる

し・か・し、無限次元ではそんなことは言えない
というのは∞＝∞＋ｘのとき、ｘ＝０なんていえないから

>”等しい有限次元のベクトル空間の線型変換の場合、
>単射性または全射性のいずれかが全単射性を意味することになります。
>（It follows that for linear transformations of vector spaces of equal finite dimension,
>either injectivity or surjectivity implies bijectivity.）”
>が、キモです。百回音読しましょうね

何回音読しても証明が理解できないんなら
ヒトになれないただのサルだよ

145: １３２人目の素数さん [] 02/04(火)16:29 ID:Sli2Vii+(2/2)
大学１年の４月で数学落ちこぼれた
実質高卒の工学部卒の社奴◆yH25M02vWFhPにとって
次元定理はチョー難しいんだとｗｗｗｗｗｗｗ

そりゃ数学板なんか全然無理だから
諦めて囲碁板にいきやがれ
https://itest.5ch.net/subback/gamestones

146(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/04(火)16:33 ID:+HgMDnV2(5/11)
>>131
(引用開始)
>>129の「」には反例がある
つまり、線形空間の次元が無限濃度の場合
単に同じ濃度の線形独立なベクトルが張る空間が
元の空間より真に小さい場合があり得る
だから次元定理はもっと精密な言い方をしてるが
◆yH25M02vWFhPは勝手に粗視化してる
有限次元でOKだから無限次元でもそうなる、
と考えるのはあさはか
(引用終り)

なるほど >>111 の ja.wikipedia 基底 (線型代数学) で
en.wikipedia で該当の Basis (linear algebra) では
”This article deals mainly with finite-dimensional vector spaces. ”の一言があるね（ja.wikipediaの記述が滑っているか）；ｐ）

ついでに、”Proof that every vector space has a basis”貼るよ
”This proof relies on Zorn's lemma, which is equivalent to the axiom of choice. Conversely, it has been proved that if every vector space has a basis, then the axiom of choice is true.[9]”

(参考)
https://en.wikipedia.org/wiki/Basis_(linear_algebra)
Basis (linear algebra)
This article deals mainly with finite-dimensional vector spaces.
However, many of the principles are also valid for infinite-dimensional vector spaces.
Basis vectors find applications in the study of crystal structures and frames of reference.

つづく

147(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/04(火)16:34 ID:+HgMDnV2(6/11)
つづき

Proof that every vector space has a basis
Let V be any vector space over some field F. Let X be the set of all linearly independent subsets of V.

The set X is nonempty since the empty set is an independent subset of V, and it is partially ordered by inclusion, which is denoted, as usual, by ⊆.

Let Y be a subset of X that is totally ordered by ⊆, and let LY be the union of all the elements of Y (which are themselves certain subsets of V).

Since (Y, ⊆) is totally ordered, every finite subset of LY is a subset of an element of Y, which is a linearly independent subset of V, and hence LY is linearly independent. Thus LY is an element of X. Therefore, LY is an upper bound for Y in (X, ⊆): it is an element of X, that contains every element of Y.

As X is nonempty, and every totally ordered subset of (X, ⊆) has an upper bound in X, Zorn's lemma asserts that X has a maximal element. In other words, there exists some element Lmax of X satisfying the condition that whenever Lmax ⊆ L for some element L of X, then L = Lmax.

It remains to prove that Lmax is a basis of V. Since Lmax belongs to X, we already know that Lmax is a linearly independent subset of V.

If there were some vector w of V that is not in the span of Lmax, then w would not be an element of Lmax either. Let Lw = Lmax ∪ {w}. This set is an element of X, that is, it is a linearly independent subset of V (because w is not in the span of Lmax, and Lmax is independent). As Lmax ⊆ Lw, and Lmax ≠ Lw (because Lw contains the vector w that is not contained in Lmax), this contradicts the maximality of Lmax. Thus this shows that Lmax spans V.

Hence Lmax is linearly independent and spans V. It is thus a basis of V, and this proves that every vector space has a basis.

This proof relies on Zorn's lemma, which is equivalent to the axiom of choice. Conversely, it has been proved that if every vector space has a basis, then the axiom of choice is true.[9] Thus the two assertions are equivalent.
(引用終り)
以上

148(2): １３２人目の素数さん [] 02/04(火)16:40 ID:R6/c8E8d(2/2)
実数空間RはQ上の線型空間だが、
その基底は選択公理によってその存在が示されるだけであり、
具体的な構成はできない

Hamel基底
https://mathlandscape.com/hamel/

ちなみに上記の基底の濃度は連続体濃度（つまり非可算）

言っておくが、任意の実数は、1,1/2,1/4,…,1/2^n,…の有理数倍の級数で表せるが
線型和は有限和なので、基底が連続体濃度であることとの矛盾は全くない
（有限和と無限和を区別しない素人はギャアギャア騒ぐが
　数学理解できない○○なのでほっといてよし）

149(1): １３２人目の素数さん [] 02/04(火)16:55 ID:pcU2dT60(1)
>>148
R上の多項式全体を、R上の線形空間としてみたとき、その基底はあきらかに1,x,x^2,…である　一方
R上の形式的ベキ級数全体を、R上の線形空間としてみたとき、その基底は存在するが誰も書き表せない

そんな馬鹿な？！といった奴は有限和と無限和が全く区別できない正真正銘の馬鹿

150(1): １３２人目の素数さん [] 02/04(火)16:57 ID:qp4hVvDG(1)
線形空間の基底と、線型位相空間の基底は、異なる
前者は有限和しか考えないが、後者は無限和を考える
線形「位相」空間という所以である

151(6): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/04(火)16:58 ID:+HgMDnV2(7/11)
>>137-140
>＞選択関数を好きに構成できると？
>　「構成」はできない
>　ただ、考えられる選択関数は無数にある

ありがとうございます。

１）そもそも、公理とは条件さえ許せば無制限に適用できる
　存在定理（公理）とは、ある条件の数学対象が存在することを主張する
　その数学対象は、存在定理の場合には、具体的な構成が与えられていない
　が、具体的な構成が与えられる場合を含んでよい（そうしなければ、構成の有無で場合分けが必要なるｗ）
　有限集合と、無限集合の区別も同様で、選択公理は無限集合限定という制約はない（勝手に無限集合限定の制約があると思い込む人あり）
　存在は、一つに限らない。当然一つの場合もあるだろうが、限られない
（例えば、単元集合 {xi} i∈λ の選択関数は一意だが、二元集合 {xi,xj} i,j∈λに対する選択関数は一意ではなくなる）
２）こういう、当たり前の理解がすべって錯乱している人がいる気がする

152: １３２人目の素数さん [] 02/04(火)17:01 ID:6TW5wyv6(2/3)
>>151
＞選択公理は無限集合限定という制約はない
　選択公理をつかわなくても証明できる場合に
　選択公理をつかうのは工学部卒のオチコボレの貴様だけ

153: １３２人目の素数さん [] 02/04(火)17:02 ID:6TW5wyv6(3/3)
すべってるのは論理がわからんド素人の◆yH25M02vWFhPだけ

154: １３２人目の素数さん [sage] 02/04(火)17:08 ID:RA31AKiv(1)
このスレは>>1がボケになる漫才になっているね
これが5ちゃんをお笑いにしようとする>>1の狙い
大阪にはそういうお笑いの風土や文化がある

155: １３２人目の素数さん [] 02/04(火)17:20 ID:kyySIsuH(10/19)
>>151
>１）そもそも、公理とは条件さえ許せば無制限に適用できる
大間違い
公理とは証明無しで正しいと認める命題

156(1): １３２人目の素数さん [] 02/04(火)17:31 ID:kyySIsuH(11/19)
>>151
>１）そもそも、公理とは条件さえ許せば無制限に適用できる
大間違い
公理はその適用対象を何も規定していない
だから命題ごとに個別に規定要（理論ごと規定する場合は「以下、断り無き場合〇〇公理を前提とする」などと表記）

157(1): １３２人目の素数さん [] 02/04(火)17:38 ID:kyySIsuH(12/19)
>>151
>その数学対象は、存在定理の場合には、具体的な構成が与えられていない
>が、具体的な構成が与えられる場合を含んでよい
選択公理は選択関数が存在するとしか主張していないから、具体的に構成できることを否定していないことは自明過ぎて語るに及ばず
あなたは馬鹿なんですか？

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