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ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 (1002ﾚｽ)
ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ13 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/
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110: １３２人目の素数さん [] 2025/02/03(月) 23:52:59.13 ID:oyw47Vnz 自分が訳も分からずコピペしてるからって他人も同じと思うのは下衆の勘繰り http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/110
111: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/04(火) 00:07:04.95 ID:siKztgRy >>108 >うん、人の意思があーとか言う前に∀と∃の違いからやり直すべき 分って無いんか？ 例を挙げよう 下記 選択公理と等価な命題で、”ベクトル空間における基底の存在”があり 次元定理が導かれる この応用として、下記に 具体的な {(1,1), (−1,2)} が R2 の基底を成すことの証明で ”次元定理による証明”として、極めて簡潔な証明があるよ 直接法と比べて見れば良い 抽象的な存在定理から、具体的なベクトルが その空間における基底で
あることが証明できる■ (参考) ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86 選択公理 選択公理と等価な命題 ベクトル空間における基底の存在 全てのベクトル空間は基底を持つ（1984年にen:Andreas Blassによって選択公理と同値であることが証明された。ただし、正則性公理が必要になる）。 ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9F%BA%E5%BA%95_(%E7%B7%9A%E5%9E%8B%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%AD%A6) 基底 (線型代数学) 任意のベクトル空間は基底を持つ（このことの証明には選択公理が必要である）。一つのベクトル空間では、全ての基底が同じ濃
度（元の個数）を持ち、その濃度をそのベクトル空間の次元と呼ぶ。この事実は次元定理（英語版）と呼ばれる（証明には、選択公理のきわめて弱い形である超フィルター補題が必要である）。 基底の存在 例 ベクトル空間 R2 を考える 一つの数学的結果が複数のやり方で証明できることは普通であるが、ここでは {(1,1), (−1,2)} が R2 の基底を成すことの証明を三通りほど挙げてみる。 直接証明 定義に忠実に、二つのベクトル (1,1), (−1,2) が線型独立であることと R2 を生成することとを示す。 線型独立性 実数 a, b に対して線型関係
略す 全域性 二つのベクトル (1,1), (−1,2) が R2 を生成することを示すには、いま (a, b) を R2 の勝手な元として、 略す 次元定理による証明 (−1,2) は明らかに (1,1) の定数倍ではないし、(1,1) も明らかに零ベクトルではないから、二つのベクトル (1,1), (−1,2) は線型独立。これを延長して基底が得られるはずだが、R2 の次元は 2 だから、{(1,1), (−1,2)} は既に R2 の基底を成している。 正則行列を用いた証明 略す http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/111
112: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 00:34:51.47 ID:kyySIsuH >>111 >抽象的な存在定理から、具体的なベクトルが その空間における基底であることが証明できる 選択関数の存在公理から、具体的な値が、箱入り無数目における確率であることが証明できる http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/112
113: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 05:45:01.81 ID:PFLhGe5c >>111 >(−1,2) は明らかに (1,1) の定数倍ではないし、 >(1,1) も明らかに零ベクトルではないから、 >二つのベクトル (1,1), (−1,2) は線型独立。 >これを延長して基底が得られるはずだが、 問１ (2,-1,-1),(-1,2,-1),(-1,-1,2)は、線形独立？ >R2 の次元は 2 だから、 問２ R^nの次元がｎであることはどうやって証明される？ >{(1,1), (−1,2)} は既に R2 の基底を成している。 問３ 直接法からどんな手間が省けるか、ど
んな手間が省けないか それぞれ具体的に示せる？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/113
114: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 05:59:13.32 ID:PFLhGe5c 有限次元線形空間に対する次元定理の証明に選択公理は不要 これ豆な 知らんで文句つける奴は・・・正真正銘のド素人！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/114
115: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 06:09:10.74 ID:PFLhGe5c 実は◆yH25M02vWFhPの>>111は 次元定理の肝心な点について述べてない だから 「空間の次元の濃度がＯで 濃度Ｏのベクトルの集合Ｂが線形独立なら それだけでＢは基底だといえる」 みたいな主張になってるが・・・もちろん真っ赤な嘘である！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/115
116: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2025/02/04(火) 10:56:52.68 ID:+HgMDnV2 >>111 補足 これ、典型的な存在定理（公理）の使い方 具体的な R2の線形空間の 二つのベクトル (1,1), (−1,2) が、基底になっている 言い換えると、 (1,1), (−1,2) を、基底に取れる 証明を見ると、背後の数学の構造が分かる 証明から、基底の二つのベクトル が、かなり自由に選択できることが分かる 典型例は、 (1,0), (0,1) だが、これが 一例にすぎないことも分かる 選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的である
ことを妨げない (1,1), (−1,2) を選択しようが、 (1,2), (−3,2) を選択しようが、 (1,0), (0,1) を選択しようが、かまわない また、ある具体的な対象に対して、存在定理（公理）を適用して 分かること（主張できること）があるんだね これ、典型的な存在定理（公理）の使い方 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/116
117: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:19:14.27 ID:jVoKXl5z >>116 > 背後の数学の構造 御託を並べる前に>>113に答えてな > (1,1), (−1,2) を選択しようが、 (1,2), (−3,2) を選択しようが、 (1,0), (0,1) を選択しようが、かまわない (1,-1)と(-1,1)だったら？ あかんやろ で、R^3のとき(2,-1,-1),(-1,2,-1),(-1,-1,2)だったら？ で、R^Nのとき、偶数番目の成分だけ1で、あと0のベクトルだったら？ 全部で可算個だぜ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/117
118: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:21:24.60 ID:jVoKXl5z ◆yH25M02vWFhPは、次元定理の「背後の数学の構造」が全く分かってない だから>>115みたいなことを平気で言う 次元定理のステートメント、確認してみ？ おまえが想像してるものと全然違うから https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9A%8E%E6%95%B0%E3%83%BB%E9%80%80%E5%8C%96%E6%AC%A1%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/118
119: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:21:40.23 ID:OopCfj4Z >>117 その御託がわからない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/119
120: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:27:04.20 ID:kyySIsuH >>116 >選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的であることを妨げない 選択関数を具体的に構成できるケースにおいてはそもそも選択公理を仮定する必要が無い。 根本的に分かってないね。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/120
121: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:31:11.51 ID:OopCfj4Z わからない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/121
122: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:35:39.58 ID:kyySIsuH >>116 >選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的であることを妨げない 存在しか言わないなら妨げないことは自明。 自明なことをさも価値ありげに語ってあなたは馬鹿なんですか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/122
123: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:36:26.58 ID:OopCfj4Z それがわからない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/123
124: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:38:57.01 ID:kyySIsuH >>116 >ある具体的な対象に対して、存在定理（公理）を適用して 分かること（主張できること）があるんだね 選択関数の存在公理を適用すれば確率1-εで勝てることが分かる。 10年がかりで分からなかった人もいるようだけど。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/124
125: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:40:23.57 ID:kyySIsuH >>116 >基底の二つのベクトル が、かなり自由に選択できることが分かる 今更？ｗ 大学1年のとき何を勉強したの？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/125
126: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:45:57.44 ID:OopCfj4Z 真意が http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/126
127: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:52:08.07 ID:kyySIsuH >>116 >選択公理は、選択関数の存在しか言わないが、選択が具体的であることを妨げない >(1,1), (−1,2) を選択しようが、 (1,2), (−3,2) を選択しようが、 (1,0), (0,1) を選択しようが、かまわない まったくトンチンカン。 基底が一つに限らないことと選択公理はまったく無関係。 そもそも有限次元線型空間の基底の存在証明に選択公理不要。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/127
128: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:54:09.41 ID:OopCfj4Z わからない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/128
129: １３２人目の素数さん [] 2025/02/04(火) 11:55:58.53 ID:pqcYcNXl >>119 ↓はあなたにとって正しいの？ 「空間の次元の濃度がＯで 濃度Ｏのベクトルの集合Ｂが線形独立なら それだけでＢは基底だといえる」 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/129
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