杉浦光夫著『解析入門I』、『解析入門II』を精読する。 (72ﾚｽ)
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1(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/26(木)11:01 ID:ayQgO3vN(1/2)
いいアイデアですか？
53: １３２人目の素数さん [sage] 01/14(火)15:31 ID:wAGmgpG8(1)
477 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2025/01/14(火) 13:38:14.36 ID:CFti7dI6
杉浦光夫著『解析入門I』
I ⊂ R^n を直方体とする。
Φ : R^2 ∋ (r, θ) = (r * cos(θ), r * sin(θ)) ∈ R^2 とする。
A = Φ(I) とする。
f(x, y) を A 上可積分とする。
I の分割を Δ とする。
I_{ij} （i = 1, …, m, j = 1, …, n）を分割された小長方形とする。
∪Φ(I_{ij}) は Φ(I) の一般分割である。
J_{ij} = Φ(I_{ij}) とする。
Δ に対応するこの一般分割を Δ' とする。
d(Δ) を Δ の直径とする。
d(Δ') を Δ' の直径とする。
Φ は I 上で一様連続だから、d(Δ) → 0 のとき、 d(Δ') → 0 である。
478 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2025/01/14(火) 13:38:28.48 ID:CFti7dI6
杉浦さんは、
lim_{d(Δ) → 0} Σ f(ξ_i, η_j) * v(J_{ij}) = ∫∫_{I} (f・Φ)(r, θ) * r
が成立つことを証明し、
∫∫_{A} f = ∫∫_{I} (f・Φ)(r, θ) * r
であると結論しています。
ですが、本当に示さなければならないのは、
lim_{d(Δ) → 0} Σ f(ξ_i, η_j) * v(J_{ij}) = ∫∫_{I} (f・Φ)(r, θ) * r
ではなく、
lim_{d(Δ') → 0} Σ f(ξ_i, η_j) * v(J_{ij}) = ∫∫_{I} (f・Φ)(r, θ) * r
です。
d(Δ') → 0 のとき、 d(Δ) → 0 はどうやって示すのでしょうか？
54: １３２人目の素数さん [sage] 01/15(水)11:32 ID:Rq94sFo4(1)
481 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2025/01/15(水) 10:54:34.32 ID:VrxcjIlV
478
あ、定理9.11により明らかですね。
55: １３２人目の素数さん [] 01/27(月)15:14 ID:8Kjbr8T1(1/4)
杉浦光夫著『解析入門II』
p.7 「(√2/2, √2) で < 0」と書かれていますが、「(√3/2, √2) で < 0」が正しいですよね。
56: １３２人目の素数さん [] 01/27(月)15:18 ID:8Kjbr8T1(2/4)
↑のような誤りはありますが、この例2は陰関数定理の証明の論法でレムニスケートの概形を描いていて、いい例だと思います。
凡人の教科書では、誰も思いつかないような素晴らしい例など書けるわけもないので、このような地道な例を書くと良いと思います。
57: １３２人目の素数さん [] 01/27(月)21:41 ID:8Kjbr8T1(3/4)
例2は、
f(x, y) = (x^2 + y^2)^2 - 2 * (x^2 - y^2) とする；
曲線 f(x, y) = 0 の概形がどうなるのかを求めるという例ですが、
第一象限のみを考えて、 y = g(x) と解いたときに、 x = √3/2 で g'(x) = 0 になるのは分かります。
ですが、 g が (0, √3/2) で単調増加、 (√3/2, √2) で単調減少というのはこの流れでどうしたら分かるのでしょうか？
58: １３２人目の素数さん [] 01/27(月)21:41 ID:8Kjbr8T1(4/4)
g はC^1級なので、中間値の定理から (0, √3/2) および (√3/2, √2) でそれぞれ定符号なのはすぐに分かります。
ですが、 g'(x) が (0, √3/2) で常に正、 (√3/2, √2) で常に負というのはどうして分かるのでしょうか？
59(1): １３２人目の素数さん [] 01/30(木)11:21 ID:pRf1K41k(1/9)
杉浦光夫著『解析入門II』
↓で「f(V) = W とする」などと勝手なことを書いていますが、 f(V) = W をみたすような開集合 V, W を取れることは証明を要しますよね？
U が R^n の開集合、 f: U → R^n は U 上 C^1 級で、一点 a ∈ U において仮定
(2.4) det f'(a) ≠ 0
をみたすとする。
b := f(a) とする。
60(1): １３２人目の素数さん [] 01/30(木)11:22 ID:pRf1K41k(2/9)
C^1 級関数 F : R^n × U → R^n を
(2.6) F(y, x) = f(x) - y
によって定義する。このとき
(2.7) F(b, a) = 0
である。さらに
(2.8) det ∂F/∂x(y, x) = det f'(x)
であるから、仮定(2.4)により
(2.9) det ∂F/∂x(b, a) ≠ 0
である。(2.7), (2.9)により F は陰関数定理の仮定をみたす。
したがって、点 a, b の開近傍 V (⊂ U), W と、 C^1 級関数 g : W → V 存在して、次の(2.10), (2.11)をみたす。ただし f(V) = W とする。
(2.10) g(b) = a
(2.11) x ∈ V, y ∈ W に対して、 y = f(x) ⇔ x = g(y).
61(2): １３２人目の素数さん [] 01/30(木)17:58 ID:pRf1K41k(3/9)
James R. Munkres著『Analysis on Manifolds』
p.65 Theorem 8.2.
A を R^n の開集合とする。
f : A → R^n を C^r 級の関数とする。
B := f(A) とする。
f が A 上で1対1で det f'(x) ≠ 0 for x ∈ A ならば、 B は R^n の開集合で逆関数 g : B → A は C^r 級の関数である。
62: １３２人目の素数さん [] 01/30(木)17:59 ID:pRf1K41k(4/9)
この定理を使えば、
>>59
>>60
で述べた問題点を解決できます。
f は U 上 C^1 級で、 det f'(a) ≠ 0 だから、 a を含む開集合 U' ⊂ U で、 det f'(x) ≠ 0 for any x ∈ U' をみたすものが存在する。
>>59
>>60
の U をこの U' で置き換える。
63: １３２人目の素数さん [] 01/30(木)18:00 ID:pRf1K41k(5/9)
y = f(g(y)) for any y ∈ W であるから、チェインルールにより、 I_n = f'(g(y)) * g'(y) である。
よって、 det g'(y) ≠ 0 for any y ∈ W である。
また、 y = f(g(y)) であるから、 g は W 上で1対1である。
よって、
>>61
の定理により、 g(W) ⊂ V は開集合である。
64: １３２人目の素数さん [] 01/30(木)18:00 ID:pRf1K41k(6/9)
x ∈ g(W) とする。
x = g(w) for some w ∈ W である。
g(f(x)) = g(f(g(w))) = g(w) = x である。
よって、 f : g(W) → W と g : W → g(W) の一方は他方の逆写像である。
この開集合 g(W) を改めて V と置けば、 f(V) = W である。
65: １３２人目の素数さん [] 01/30(木)18:00 ID:pRf1K41k(7/9)
Munkresさんの本に載っている
>>61
の定理を使ってやっと杉浦さんの雑な話を正当化できました。
杉浦さんって雑ですよね？
66: １３２人目の素数さん [] 01/30(木)18:03 ID:pRf1K41k(8/9)
しかもこれは超重要な定理の証明の中での話です。
『解析入門I』の逆関数定理Iの証明でも昔のバージョンの本では論証に問題がありました。その後訂正されましたが。
67: １３２人目の素数さん [] 01/30(木)18:33 ID:pRf1K41k(9/9)
なんか逆関数定理の証明で一番重要なところでコケていますよね。
「ただし f(V) = W とする。」とか書いて。
68: １３２人目の素数さん [sage] 03/04(火)13:46 ID:ygAXjk14(1)
あげ
69: １３２人目の素数さん [] 03/18(火)17:00 ID:w7Wevthr(1)
アスペ上げ
70: １３２人目の素数さん [] 06/09(月)11:20 ID:FR1F6m2Y(1)
（´・ɜ・）ノ
71: １３２人目の素数さん [] 06/12(木)22:46 ID:SRpUahbp(1)
杉浦先生は、専門は解析だった？
72: １３２人目の素数さん [] 06/12(木)22:49 ID:1lUCohkQ(1)
表現論かもしれない
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