バナッハ=タルスキの定理の証明見たけど選択公理は本質じゃないだろ (85ﾚｽ)
上下前次1-新
46(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)14:46 ID:IoWAaSg8(1/2)
>>41
代数的本質
二元集合{ρ, τ}で生成される自由群を F2 と書く．
命題 W(σ) := { x1…xn∈F2 | x1=σ} と置けば
F2
= {1}\sqcupW(ρ)\sqcup W(ρ^-1)\sqcupW(τ)\sqcupW(τ^-1)
= W(ρ)\sqcupρW(ρ^-1)
= W(τ)\sqcupτW(τ^-1).
47(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)14:47 ID:IoWAaSg8(2/2)
>>46の図示
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%EF%BC%9D%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9#/media/%E3%83%95%E3%82%A1%E3%82%A4%E3%83%AB:Paradoxical_decomposition_F2.svg
48: １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)14:51 ID:VtWHmnKo(1)
>>47の赤の箇所と青の箇所が"合同"、というのが代数的本質
あとは球面上の点で自由群F2で移り合うものを同値とする関係で同値類を作って
そこから１点代表をとった集合をつくればいいだけ
球面の場合は選択公理が必要だが
双曲平面だったら具体的に集合をつくれるので選択公理不要
49: １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)16:23 ID:aWpunPfB(1)
結局はこの現象の肝は選択公理じゃなくて
本質的にはヒルベルトの無限ホテルのパラドックスと同じ類の仕組みなんだよな
50: １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)16:26 ID:xfUIAcab(1/5)
バナッハ･タルスキーの定理の証明を簡潔にまとめたPDF
https://alg-d.com/math/ac/banach_tarski.pdf
51(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)16:42 ID:xfUIAcab(2/5)
https://alg-d.com/blog/2013/05/12.shtml より引用(start)
ところで、Banach-Tarskiの証明はそれなりの長さがありますが、その内容は殆ど「群」や「群が作用している集合」についての議論であって、選択公理は関係ありません。そして選択公理を使うのは「商集合の代表系」を一回とるだけです。つまり、実はBanach-Tarskiは選択公理とはあまり関係がないのです。証明を見ると分かりますが、Banach-Tarskiはどちらかというと自由群 F2 の性質から来ているような感じがします。
引用(end)
52: １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)17:43 ID:3QvSsu9z(2/3)
>>51
>Banach-Tarskiは選択公理とはあまり関係がない
代表系を取れないと話にならないのに関係ないとは言い難くない？
53: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/25(水)17:46 ID:d4m1+r5p(2/5)
そもそも集合・位相はAC無しでは無理だろ、馬鹿か
54: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/25(水)17:54 ID:d4m1+r5p(3/5)
代数だってACを多用してるｗ
55: １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)18:17 ID:H9DnHvmb(1/2)
パラドキシカルな分解は2階自由群が本質かと思っていたら違うらしい
amenable groupで調べたら大きな分野だった
56(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/25(水)18:19 ID:YKHHwxYU(1)
有限の大きさの球ってのがパラドックスのミソで
途中で非可測集合作るんだから本質でしょ
57(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)18:34 ID:3QvSsu9z(3/3)
自由群の交換子群は自由群だそうだけど証明は簡単なの？
58: １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)18:42 ID:/Rhu5yjT(1)
コンパクトかノンコンパクトかで
選択公理を使う必要があるかないか
違ってくると思われる
59: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/25(水)18:44 ID:d4m1+r5p(4/5)
>>56
スレタイ 箱入り無数目を語る部屋27(あほ二人の”アナグマの姿焼き”ｗ)
2chｽﾚ:math
60(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)19:33 ID:H9DnHvmb(2/2)
>>57
自由群の部分群は自由群
ただし選択公理を使う
61(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/25(水)19:36 ID:qa3Sudh1(1)
数学板のチンピラ
http://hissi.org/read.php/math/20241225/ZDRtMStyNXA.html
62: １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)19:38 ID:ABNX/WJw(1)
>>60
ありがと
どこか書かれてるページとかありませんかね
63: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/25(水)20:08 ID:d4m1+r5p(5/5)
>>61
成りすまし野郎
64: １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)21:27 ID:xfUIAcab(3/5)
”可算選択公理を使っただけにも関わらず、結果として得られるのが直感に反するような定理”ってある？
65: １３２人目の素数さん [] 2024/12/25(水)21:30 ID:xfUIAcab(4/5)
あ、バナッハ･タルスキーの定理の証明で使ってんのは可算選択公理やな
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
あと 20 ﾚｽあります
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.015s