5次方程式の解を表現できる数体系 (77ﾚｽ)
上下前次1-新
1(2): １３２人目の素数さん [] 2024/12/19(木)14:45 ID:HKcBOMg5(1)
5次方程式はご存知の通り解の公式がございませんね。
しかしそれは我々が知ってる実数の数体系(有理数と有理数の冪根の加減乗除で表される数)で表現できないというだけで、
実数の表現を拡張して、5次方程式の解の公式を一般化する為の実数の新しい表現を与えてやれば表現できるはず。
ガロワはなんでそんな事に気づかなかったんだ？
人類は二次方程式や3次方程式の解を一般化する為に平方根や冪根、複素数を産み出した。
5次方程式の解の公式がそれまでのやり方で得られないからとなぜ諦めるのか？新しい実数表現を作れば良いではないか。
前スレ
5次方程式の解を表現できる数体系 [転載禁止](c)2ch.net
2chｽﾚ:math
58: １３２人目の素数さん [sage] 04/04(金)08:08 ID:nNQsKTm+(2/3)
訂正 60次の交代群
→位数60の5次交代群ね。
59: １３２人目の素数さん [sage] 04/04(金)09:46 ID:nNQsKTm+(3/3)
実は、「一般方程式」の係数は、数ではなく不定元。
一方で、ガウスが研究した「円分方程式」は
特殊な数係数方程式の無限個からなる系列。
ガウスはべき根解法のアルゴリズムを示しているが
単純な「公式」で解があらわされるわけではない。
（解の一般形はある。）
これは「公式バカ」には分かりにくい点だろう。
60: １３２人目の素数さん [sage] 04/05(土)16:13 ID:EntYjTdQ(1/2)
前スレより
「P=2π/11とおいたとき
sin(P)/√11=(1-cos(P)+2cos(3P)-2cos(5P))/11
の両辺において、Pをa倍 (a=2,...,10)すると何が起きるか？
→ ±1倍の違いが生じる。
これは、ガロア群が√11にも作用するから。
そして、この値は実はルジャンドル記号(a/11)に等しい。
すなわち
sin(aP)/√11="(a/11)"(1-cos(aP)+2cos(3aP)-2cos(5aP))/11.
（ただの分数と区別するために" "で示した。）」
11以外にも、一般にp≡3 (mod4)なる素数の場合に同様の計算が可能。
このとき、√pを用いたsinのcosによる相対2次表現の符号に
ルジャンドル記号があらわれる。
ルジャンドル記号
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AB%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AB%E8%A8%98%E5%8F%B7
このように、単に符号であっても詳しく調べれば
デリケートな（数論的な）量があらわれてくるのである。
当時このような現象まで含めて捉えていたのはガウスだけだったのでは。
61: １３２人目の素数さん [sage] 04/05(土)16:16 ID:EntYjTdQ(2/2)
nは自然数、(n/p)をルジャンドル記号とする。（特に(1/p)=1である。）
P=2π/3のとき
√3 sin(nP)=(n/3)(1-cos(2nP))
P=2π/7のとき
√7 sin(nP)=(n/7)(1+cos(nP)-2cos(2nP))
P=2π/11のとき
√11 sin(nP)=(n/11)(1-cos(nP)+2cos(3nP)-2cos(5nP))
P=2π/19のとき
√19 sin(nP)=(n/19)(1-cos(nP)-2cos(2nP)+2cos(3nP)+2cos(4nP)-2cos(7nP))
P=2π/23のとき
√23 sin(nP)=(n/23)(1+con(nP)-2cos(4nP)+2cos(8nP)-2cos(9nP)-2cos(10nP)+2cos(11nP))
いくらでも計算できる。
62: １３２人目の素数さん [] 04/28(月)14:43 ID:BHKTsgBy(1)
どなたか解けた方おられますかあ？
63: １３２人目の素数さん [] 05/17(土)02:14 ID:YuvP8CV1(1/2)
求めるべき未知数は４つではなくて３つだった。
これにより未知数同士の間の、対称性の問題が無くなった。
さらに巡回置換の際に掛ける符号も、5乗せずとも上手く消えてくれるようになった。
"A+B+C"の値は既に求められたので、後は"AB+AC+BC"と"ABC"を求めれば良い。
しかし、>>52で書いた数百万項は大袈裟過ぎたとしても、それより大分少ないとはいえ
文字式の整理が（自分にとっては）地獄の作業なのに変わりはなく、取り掛かる気力が
湧かない。
もう殆どゴールまでの道筋が見えているというのに。
自動で文字式の変形と整理をしてくれるソフトでも無いだろうか。
64(1): 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 05/17(土)07:35 ID:bT5AR98I(1/5)
幾多のパターンの偏りがある解になる。代入すれば必ず答えが出るんだから難問でもない。
65(1): 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 05/17(土)07:37 ID:bT5AR98I(2/5)
それが連立していても答えはまた実数である。固定的な数量ではないだけだ。
66(1): 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 05/17(土)07:38 ID:bT5AR98I(3/5)
大げさに考えないことだ。
67(1): 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 05/17(土)07:40 ID:bT5AR98I(4/5)
機械のエネルギー量などの演算に使える。
68(2): １３２人目の素数さん [] 05/17(土)12:48 ID:IQl96E0D(1)
5次方程式の解
Theorem 11 (The quintic formula). The quintic equation
c0 − c1x + c2x^2 + c3x^3 + c4x^4 + c5x^5 = 0
has a formal series solution:
x = ? { (2m2 + 3m3 + 4m4 + 5m5)! c0^(1+m2+2m3+3m4+4m5) c2^m2 c3^m3 c4^m4 c5^m5 } / {(1 + m2 + 2m3 + 3m4 + 4m5)! m2!m3!m4!m5!c1^(1+2m2+3m3+4m4+5m5) }
m2,m3,m4,m5≥0
This also contains a solution to the general quadratic, cubic, and quartic equations.
https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.2025.2460966
69: １３２人目の素数さん [] 05/17(土)13:39 ID:YuvP8CV1(2/2)
>>64-68
五次方程式は既に解かれているという事ですか？
70(1): 死狂幻調教大師S.A.D.@月と六ベンツ [] 05/17(土)14:19 ID:bT5AR98I(5/5)
それに近い答えになる。
71: １３２人目の素数さん [] 05/18(日)18:12 ID:r55TaQO/(1)
>>70
私は>>68の内容を理解できないので教えて欲しいのですが、それは代数的に
という事でしょうか？
もしそうだとしたら凄い事だと思うのですが、数学界には既に知られている
のでしょうか？
72: １３２人目の素数さん [] 05/19(月)02:48 ID:4rx0E5PF(1/2)
別スレでも話題になってるこれ
解の各項は代数的(四則演算のみ)だが
その総和は無限級数だから
代数的には解かれてはいない
5次方程式に新公式を発見：ルートを超える新理論 - ナゾロジー
2025.05.14
73: １３２人目の素数さん [] 05/19(月)02:50 ID:4rx0E5PF(2/2)
その総和は無限級数だから
→
解はその総和の無限級数だから
74: １３２人目の素数さん [] 05/19(月)08:55 ID:woHfABfb(1)
無限級数ならなんでもありだな
収束はしないが漸近的であるなんてのがあったらおもろいかも
75: １３２人目の素数さん [] 05/19(月)19:23 ID:SIfP/NZ2(1)
自分のしている事が徒労に終わるのかと焦ったが、代数的に解けた訳では
ないという事で正直ホッとした。
76: １３２人目の素数さん [sage] 05/19(月)19:33 ID:oEBO4/HX(1)
笑いを提供してくれるトンデモさん。
どこが可笑しいポイントかというと・・・
77: １３２人目の素数さん [sage] 08/24(日)20:26 ID:Zr4IjABA(1)
>>44 4要素の巡回置換は奇置換ですよね。解の公式を作る際に、最初の
差積を採る段階で奇置換の対称性は崩れている筈なのに、また奇置換の
対称性を問題にするのはおかしくないですか?
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