有限単純群とかある時点で数学って解明不可では？

有限単純群とかある時点で数学って解明不可では？ (31ﾚｽ)
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12: １３２人目の素数さん [] 2024/11/10(日) 10:51:24.87 ID:zvgSRz4H

>>1
>有限単純群とかある時点で数学って解明不可では？
>それ以上単純にできへんのやろ？

ちょっとマジレスしておきますね
下記『剰余因子群は単純群であり、G が完全可約群であれば、剰余因子群の直積に分解される』
ジョルダン・ヘルダーの定理：与えられた群の任意の組成列は同値であると主張する。つまり、組成列の長さは等しく、組成因子も順序と同型の違いを除いて等しい

ざっくりと言えば
ある有限群Gは、完全可約群であれば、剰余因子群の直積に分解される
その分解は、順序と同型の違いを除いて等しい（ジョルダン・ヘルダーの定理）

あたかも、自然数が素数の積に 一意に 素因数分解されるがごとし
自然数→有限群
素数→有限単純群
みたいな関係

なので、有限単純群が分るといいことがある
有限群は、有限単純群の組合せなので、部品の有限単純群が分ると理解しやすいってことです

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4
単純群
有限単純群
有限単純群は、それがすべての有限群の「基本的な構成部品」となっているという意味で重要である

ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%84%E6%88%90%E5%88%97
組成列（英: composition series）は、抽象代数学における概念の一つであり、与えられた群や加群といった代数的構造を、代数的により単純な構造の単純群や単純加群に分解する手掛かりを与えるものである。
組成列が存在するという条件は、有限個の単純（加）群の直積（直和）に書けるという条件よりも弱い。また、組成列が存在すれば、それはある意味で一意的である。
概要
群の組成列の定義は次のとおりである。群 G が相異なる部分群の有限列
G=Gn⊋⋯⊋G0=1
を持ち、各添字 1 ≤ i ≤ n について Gi−1 は Gi の正規部分群であり (Gi ⊵ Gi−1)、剰余群 Gi/Gi−1 が単純群であるとき、この部分群の有限列 (Gi)0≤i≤n を組成列と呼び、剰余群の列 (Gi−1/Gi)1 ≤i≤n を剰余因子群または組成因子と呼ぶ。また、部分群の個数 n を組成列の長さと呼ぶ[1]。
上の定義においては、群 G の各部分群 Gi は、G の正規部分群であること (G ⊵ Gi) は要求されていない。この要求を満たす場合、(Gi)0≤i≤n を主組成列と呼び、G の直積分解を考える上では、こちらの方がより本質的である (クルル・レマク・シュミットの定理参照)。
群 G が有限個の単純群の直積に分解可能な場合、G は完全可約群または半単純群であるという。
上の定義から明らかなように、剰余因子群は単純群であり、G が完全可約群であれば、剰余因子群の直積に分解される

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731054412/12

13: １３２人目の素数さん [] 2024/11/10(日) 10:51:44.01 ID:zvgSRz4H

つづき

ジョルダン・ヘルダーの定理
群はいくつもの組成列をもつかもしれない。しかしながら、ジョルダン・ヘルダーの定理（カミーユ・ジョルダンとオットー・ヘルダーにちなんで名づけられた）は、与えられた群の任意の組成列は同値であると主張する。つまり、組成列の長さは等しく、組成因子も順序と同型の違いを除いて等しい。この定理はシュライヤーの細分定理（英語版）を使って証明できる。ジョルダン・ヘルダーの定理はまた超限（transfinite）増大組成列についても正しいが、超限減少組成列に対しては正しくない(Birkhoff 1934)。

yhomma.w.waseda.jp/
本間泰史研究室 本間泰史（早稲田大学教授）
yhomma.w.waseda.jp/homma-lecture.htm
講義ノート，研究室 卒論・修論
有限群の表現，対称群の表現の基礎
representation.pdf
対称群の表現の基礎です．ヤング図形やシューア多項式を使えるようになろうというもの．基礎といいながら，かなりマニアックかもしれない．量が多いので，使い勝手をよくするため索引もつけました．
（しかし，僕は専門家ではないので，責任はもたない．いろいろ訂正箇所 あるのですが，時間がないので訂正してません_(._.)_）
yhomma.w.waseda.jp/homma2/download/representation.pdf
有限群の表現，対称群の表現の基礎
本間泰史
概要このノートでは有限群の表現論および対称群の表現論の基本的なことを論じる．
はじめに
このノートで述べることは，
1.有限群の表現．
2.対称式．
3.対称群の表現論．
4.交代群の表現論．
5.構成．
です．
このノートを書いた動機は，いろいろな事情から「Fulton^Hqrrisの表現論の本の理解しよう」と思ったことです．この本は最初に有限群，対称群の表現論がありまして，その後リー群やリー環の表現論に入ります（扱うの古典群）．
コンパクト群の表現論を理解するには，まず有限群の表現から勉強したほうが理解しやすく，対称群という有限群の表現論を学べば，
略
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1731054412/13

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