背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
上下前次1-新
1(3): １３２人目の素数さん [] 2024/11/07(木)20:43 ID:sBZeRZGB(1)
同じじゃないの？
98(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月)08:10 ID:6A2Om1Cc(9/9)
まあ論理を語るのにベン図と真偽値で語ろうとしているのも
非常に素朴な意味でアレですけどね
99: １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月)08:11 ID:b+51aIH5(5/7)
>>93 タイポ訂正追加の追加
また、対偶法の ¬p：x^2≠2 を考えるより、¬p：x^2＝2 とする方が圧倒的に有利で分かり易い
↓
また、対偶法の ¬p：x^2≠2 を考えるより、p：x^2＝2 とする方が圧倒的に有利で分かり易い
100(3): １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月)08:16 ID:b+51aIH5(6/7)
>>96-98
ぷ
間違っている
まあ、それは棚上げして
証明手法として
・普通の証明（P→Q）
・対偶法
・背理法
この3つの手法が存在し
証明する命題によって
この3つの手法の証明の難易度が異なる
よって、どの手法を使えば良いかは
ケースバイケース
そういうことですよ
101: １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月)08:42 ID:l8/SbiYA(1)
《∀と∃記号を使ってみたぁぁぁ。》
今閃いたた対偶法による
√2は有理数である事の証明モドキ だ
∀xが既約分数 ⇒ ∃「xの二乗は2」
が証明されちゃったら、
√2は有理数である事の証明だぜ
14142・・・/10000・・・
は既約分数ぢゃなぃよねー
by 戯言でした。失礼しました ・・/~~~
102: １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月)09:22 ID:I6+/22Nc(1/4)
>>100
背理法と対偶法はほぼほぼ同じロジックなので
実際に証明に使う場合の難易度もほぼほぼ同じなんですよ
お好みでお使いください
103: １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月)09:23 ID:I6+/22Nc(2/4)
>>100
>間違っている
何が間違っているかも指摘できないんですね>間違っている
私はなぜほぼほぼ同じなのか説明しましたよ>>88
104: １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月)11:15 ID:I6+/22Nc(3/4)
ベン図や真偽値を使っているうちは
証明手法のお互いの関係について
云々するのはまだ早いと言えましょう
105: １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月)11:28 ID:I6+/22Nc(4/4)
>>93
>命題：実数 x^2=2→xは無理数である
> p：実数 x^2=2、q：xは無理数
> さて
> 対偶法：xは有理数→x^2≠2
このあとx^2=2とするとと背理法を使うんですよね？
> 背理法：p：{実数 x^2=2}∩{xは有理数}＝Φ（空集合）（Φは矛盾を示してあり得ないことをいう）
空集合であることをいうのに¬q→¬pを使うんですよね？
106: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/09(月)15:08 ID:ZgvV7emO(1)
ZFCスレで負けた犬が
背理法スレで吠える
存在例化も知らん犬コロが
107(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/12/09(月)20:31 ID:b+51aIH5(7/7)
ふっふ、ほっほ
>>93より 訂正再投稿
1）古典論理において、厳然と証明手法として
背理法と対偶法は、存在する
そして、この二つの手法は別もの
この事実を認めましょうね
2）これを、いつもの例題 √2が無理数であることの証明で示す
命題：実数 x^2=2→xは無理数である
p：実数 x^2=2、q：xは無理数
さて
対偶法：xは有理数→x^2≠2
背理法：{実数 x^2=2}∩{xは有理数}＝Φ（空集合）（Φは矛盾を示してあり得ないことをいう）
3）具体的な背理法証明は、頻出なので略す
ここで、q：xは無理数 を考えるより、¬q：xは有理数 とする方が圧倒的に有利で分かり易い
また、対偶法の ¬p：x^2≠2 を考えるより、p：x^2＝2 とする方が圧倒的に有利で分かり易い
背理法とは、このように ロジックとしては等価だが
p,q をマトモニ考えるよりも、その否定 ¬p,¬q を考える方が、証明戦略として楽な場合があるってことですよ
対偶法も同様のことです
どの組合せが良いか？
それは、具体的な証明すべき命題で決まる
>>100について
訂正再投稿
証明手法として
1)普通の証明（P→Q）(直接法)
2)対偶法
3)背理法
補足
対偶法と背理法とは、間接証明とかいうそうですね
(参考)
www.jstage.jst.go.jp/article/jasme/24/2/24_25/_pdf/-char/ja
全国数学教育学会誌 数学教育学研究第24巻第2号2018 pp.25〜36
間接証明の構造の理解に関する研究 −理解の様相を捉える枠組みの構成一
広島大学大学院 教育学研究科 院生 浦山大貴
＜ちょっと妖しいが・・ｗ (＾＾；＞
exam-strategy.jp/archives/1321
敬天塾 2024年8月27日
背理法と対偶命題の証明法は、どのように使い分けるのか
背理法と対偶命題の証明法の使い分けは（基本編）
では、やっとですが背理法と対偶命題の証明法の使い分けに行きましょう。
基本的には、
断定型の命題を否定しながら証明する時は、背理法
推論型の命題を否定しながら証明する時は、対偶命題の証明法
と使い分けます。
108(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/10(火)09:26 ID:F0+otgd+(1)
pu (*sigh*)
まあ正しいものの考え方をすべきですよ
背理法と対偶法は思考のロジックとして
ほぼほぼ同じ内容です>>96
どちらでも好きな方を使えば良いのですよ
109(3): １３２人目の素数さん [] 2024/12/10(火)10:52 ID:ytuvmVUS(1/5)
>>108
>背理法と対偶法は思考のロジックとして
>ほぼほぼ同じ内容です>>96
あんまり、数学に向いていない 雑な思考をしますねｗ ；ｐ）
>>107より
証明手法として
1)普通の証明（P→Q）(直接法)
2)対偶法 (間接法)
3)背理法 (間接法)
となります
対偶法と背理法とは、同じ間接法に分類されます
古典論理で
１）直接法 P→Q
２）対偶法 ¬Q→¬P
３）背理法 ¬Q⋀P→空(矛盾) (集合では¬Q ⋂ P＝Φ(空集合))
少し補足しましょうね >>107より
いつもの例題 √2が無理数であることの証明で示す
命題：実数 x^2=2→xは無理数である
p：実数 x^2=2、q：xは無理数
これを、直接法 p→q を示そうとするとき
出発点で使える条件は、”x^2=2” のみ
なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直施示すには、大理論を持ちだすしかない
典型例が、連分数の理論です
連分数の理論で、√2が無限に循環する連分数表示を持つことが分かる（下記）
よって、√2は無理数である （”無限連分数が無理数である”ことは、既知として）■
一方、背理法ならば ¬q⋀p→空(矛盾) を示せばいいので
¬q：xは有理数 x＝a/b (a/bは既約分数)
p： x^2=2
つまり、二つの条件 x＝a/b と x^2=2 とが使える利点があります （頻出なので、後は略す）
さて、対偶法です
¬q：x＝a/b → p： x^2≠2
となります
¬q → p： x^2≠2
を示すときに、”x^2≠2”がこのままでは まずい
よって、この対偶命題に 背理法を適用します
そうすると (¬q：x＝a/b) ⋀ (p：x^2=2)→空(矛盾)
とできて、これは 最初の命題 P→Q に対する背理法と 一致します！ （＾＾
なので、”√2が無理数であることの証明”では、背理法が一番簡単
直接法は、連分数の理論など大理論が必要
対偶法は、結局は 背理法 に持ち込むことになるでしょう
これが結論ですｗ
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0
連分数（れんぶんすう、英: continued fraction）とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す
二次無理数（整数係数二次方程式の根である無理数）の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。
逆に、正則連分数展開が循環する数は二次無理数である。
様々な数の連分数展開
下線部はそれぞれの循環節。
2の平方根
√2＝略す
110: １３２人目の素数さん [] 2024/12/10(火)10:56 ID:ytuvmVUS(2/5)
>>109 タイポ訂正
なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直施示すには、大理論を持ちだすしかない
↓
なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直接示すには、大理論を持ちだすしかない
111: １３２人目の素数さん [] 2024/12/10(火)11:11 ID:ytuvmVUS(3/5)
>>109 補足
>なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直施示すには、大理論を持ちだすしかない
>典型例が、連分数の理論です
補足しておきます
下記 無理数 で、無理数判定法があります
なので、√2が無限連分数表示を持つことから、下記の無理数判定法に持ち込んで
『√2は無理数』を示すのが、大学学部レベルの一つの直接証明法でしょう
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0
無理数
無理数判定法
任意の ε > 0 に対して不等式
0<|α−p/q|<ε/q
が有理数解 p/q
を持つとき、α は無理数である。
多くの無理性の証明はこれを用いている。これは α が無理数であるための必要十分条件でもある。
性質
無理数を十進小数で表記すると、繰り返しのない無限小数（非循環小数）になる。これは記数法の底によらず一般の N 進小数でも成り立つ。
α を無理数とすると、
|α−p/q|<1/q^2
を満たす無限に多くの有理数
p/q
が存在する（ディリクレの定理）。
なお、このように無理数の有理数による近似を扱う理論はディオファントス近似と呼ばれる数論の分野に属する。
代数的無理数と超越数
無理数のうち、代数的数であるものを代数的無理数、そうでないものを超越数という。
α が代数的数、κ > 2 ならば、
|α−p/q|<1/q^κ
を満たす有理数
p/q
は有限個しかない（トゥエ−ジーゲル−ロスの定理）[5]。
このことは不定方程式の解の有限性を示すときに使われる。
2の平方根は代数的無理数であり、log2 3, e, π, eπ といった数は超越数である。ζ(3) が超越数であるか否かは未だに解決されていない。
→詳細は「超越数」を参照
112: １３２人目の素数さん [] 2024/12/10(火)11:42 ID:ytuvmVUS(4/5)
>>21 より 背理法の説明再録しておきますね
(引用開始)
・では、背理法は？ (qの否定(¬q)) ・ p ⇒ 矛盾 （空集合Φ、 ”・”は積です）
つまり ベン図で P∩Q^- ＝Φ（空集合）
です
・背理法の利点は、証明に使える条件が増えていること
つまり、p ⇒q の証明は、pのみを使って q を導くのに対して
背理法では、pに加えて qの否定(¬q)も使えて、矛盾 （空集合Φ）を導けば良いってことです。この方が楽な場合があるってこと
(引用終り)
下記2点に詳しい説明がある
（下記 Dr. Valerie Hower youtu.be 百回見てねｗ （＾＾）
(参考)
https://math.libretexts.org/Courses/SUNY_Schenectady_County_Community_College/Discrete_Structures/05%3A_Set_Theory/5.02%3A_Proving_Set_Relationships
LibreTexts
Disjoint Sets
This is an instance where proving the contrapositive or using a proof by contradiction could be reasonable approaches. To illustrate these methods, let us assume the proposition we are trying to prove is of the following form:
If P , then T=∅ .
If we choose to prove the contrapositive or use a proof by contradiction, we will assume that T≠∅
. These methods can be outlined as follows:
The contrapositive of “If P , then T=∅ ” is, “If T≠∅ , then ┐P .”
So in this case, we would assume T≠∅ and try to prove ┐P .
Using a proof by contradiction, we would assume P and assume that T≠∅ .
From these two assumptions, we would attempt to derive a contradiction.
One advantage of these methods is that when we assume that T≠∅ , then we know that there exists an element in the set T .
We can then use that element in the rest of the proof.
We will prove one of th the conditional statements for Proposition 5.14 by proving its contrapositive.
The proof of the other conditional statement associated with Proposition 5.14 is Exercise (10).
Proposition 5.14
Let A and B be subsets of some universal set. Then A⊆B if and only if A∩Bc=∅ .
Proof
略
https://youtu.be/KmAyZOQSp0k?t=1143
Proof by Contradiction (full lecture)
Dr. Valerie Hower
2020/11/08
コメント
@monraet
5 か月前
Thanks Dr. However for all your math videos, they are the best
113(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/10(火)13:45 ID:GRRjq4ID(1)
無理数は、無限小数（非循環小数） との話ありがとう
この対偶をとると
無限小数かつ循環小数 または 有限小数 は、
有理数 って事だ。
てか、対偶は長文になって分かりづらい
無限小数でも循環小数なら有理数 かつ
循環小数なら有理数
これでバッチリ有理数と無理数が分かった
114: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/12/10(火)16:00 ID:ytuvmVUS(5/5)
>>113
>無理数は、無限小数（非循環小数） との話ありがとう
>この対偶をとると
>無限小数かつ循環小数 または 有限小数 は、
>有理数 って事だ。
ご苦労様です
同意です
１）つまり、例えば ある有理係数 二次方程式の実根について
その根を小数展開できる理論が作れて
その理論で、有限小数か、循環小数か、非循環小数か
その区別が、二次方程式の 係数から判定できる
大理論ができたならば
２）その大理論を使って 方程式 x^2 -2＝0 の根について
非循環小数で表されることが言えて、
『√2は無理数』を直接証明できる
なお、老婆心ながら
小数展開よりも、連分数展開の方が表現力が高いので
連分数展開を経由して、非循環小数は 簡単に言える
連分数展開も、二次方程式までは威力があるが
三次方程式以上は、きれいな式展開ができないらしい
そこは課題だとなにかに書いてあった
115(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/10(火)19:27 ID:VYgOxHHf(1)
>>109
>あんまり、数学に向いていない 雑な思考をしますねｗ ；ｐ）
pu (*sigh*)
数学の思考法が常に緻密だというのは誤解でしょうよ
証明蜂蜜でなくてはいけないでしょうが（それも怪しいですが）
試行錯誤の段階では柔軟に考えるのが数学です
背理法と対偶法は思考のロジックとしてほぼほぼ同じ内容なのですから>>96
どっちを使って証明するのもお好み次第ですね
116: １３２人目の素数さん [] 2024/12/11(水)06:07 ID:IhhbssW7(1)
ホッホホー、大きくなれよ。
117: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/11(水)08:43 ID:BYfV7guB(1)
>>115
ほっともっと は
記載された「証明」が証明の要件を満たしているかどうかの検査 と
そもそも証明を探索する手続き の
違いを理解してないんですよ
証明探索の効率的な方法なんてありゃしません
ゲーデルの完全性定理によれば、命題が証明可能なら、必ずその証明を見つけ出す手続きが存在しますが
ある時間内に見つけられる、なんて限定ができるわけではない
そんなことができるなら、証明可能か否か判定できるわけだから
証明が存在するとしても、信じられないくらい長い時間がかかるかもしれない
証明できるまでの時間を競うのは無意味
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