背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
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93(6): １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月)07:58 ID:b+51aIH5(2/7)
>>87-92
ぷ
1）古典論理において、厳然と証明手法として
背理法と対偶法は、存在する
そして、この二つの手法は別もの
この事実を認めましょうね
2）これを、いつもの例題 √2が無理数であることの証明で示す
命題：実数 x^2=2→xは無理数である
p：実数 x^2=2、q：xは無理数
さて
対偶法：xは有理数→x^2≠2
背理法：p：{実数 x^2=2}∩{xは有理数}＝Φ（空集合）（Φは矛盾を示してあり得ないことをいう）
3）具体的な背理法証明は、頻出なので略す
ここで、q：xは無理数 を考えるより、¬q：xは有理数 とする方が圧倒的に有利で分かり易い
また、対偶法の ¬p：x^2≠2 を考えるより、¬p：x^2＝2 とする方が圧倒的に有利で分かり易い
対偶法とは、このように ロジックとしては等価だが
p,q をマトモニ考えるよりも、その否定 ¬p,¬q を考える方が、証明戦略として楽な場合があるってことですよ
対偶法も同様のことです
どの組合せが良いか？
それは、具体的な証明すべき命題で決まる
94: １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月)08:00 ID:b+51aIH5(3/7)
>>93 タイポ訂正
背理法：p：{実数 x^2=2}∩{xは有理数}＝Φ（空集合）（Φは矛盾を示してあり得ないことをいう）
↓
背理法：{実数 x^2=2}∩{xは有理数}＝Φ（空集合）（Φは矛盾を示してあり得ないことをいう）
95: １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月)08:02 ID:b+51aIH5(4/7)
>>93 タイポ訂正追加
対偶法とは、このように ロジックとしては等価だが
↓
背理法とは、このように ロジックとしては等価だが
96(4): １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月)08:06 ID:6A2Om1Cc(7/9)
>>93
ぷ
ロジックが同じであることがわかっていないようですね
背理法は P∧(￢Q→￢P)→Q
対偶法は (￢Q→￢P)→(P→Q)
これらが同等であることは古典論理でも直観主義論理でも爆発律のない最小論理でも証明されますから
使っているロジックに変わりはないのです
99: １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月)08:11 ID:b+51aIH5(5/7)
>>93 タイポ訂正追加の追加
また、対偶法の ¬p：x^2≠2 を考えるより、¬p：x^2＝2 とする方が圧倒的に有利で分かり易い
↓
また、対偶法の ¬p：x^2≠2 を考えるより、p：x^2＝2 とする方が圧倒的に有利で分かり易い
105: １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月)11:28 ID:I6+/22Nc(4/4)
>>93
>命題：実数 x^2=2→xは無理数である
> p：実数 x^2=2、q：xは無理数
> さて
> 対偶法：xは有理数→x^2≠2
このあとx^2=2とするとと背理法を使うんですよね？
> 背理法：p：{実数 x^2=2}∩{xは有理数}＝Φ（空集合）（Φは矛盾を示してあり得ないことをいう）
空集合であることをいうのに¬q→¬pを使うんですよね？
107(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/12/09(月)20:31 ID:b+51aIH5(7/7)
ふっふ、ほっほ
>>93より 訂正再投稿
1）古典論理において、厳然と証明手法として
背理法と対偶法は、存在する
そして、この二つの手法は別もの
この事実を認めましょうね
2）これを、いつもの例題 √2が無理数であることの証明で示す
命題：実数 x^2=2→xは無理数である
p：実数 x^2=2、q：xは無理数
さて
対偶法：xは有理数→x^2≠2
背理法：{実数 x^2=2}∩{xは有理数}＝Φ（空集合）（Φは矛盾を示してあり得ないことをいう）
3）具体的な背理法証明は、頻出なので略す
ここで、q：xは無理数 を考えるより、¬q：xは有理数 とする方が圧倒的に有利で分かり易い
また、対偶法の ¬p：x^2≠2 を考えるより、p：x^2＝2 とする方が圧倒的に有利で分かり易い
背理法とは、このように ロジックとしては等価だが
p,q をマトモニ考えるよりも、その否定 ¬p,¬q を考える方が、証明戦略として楽な場合があるってことですよ
対偶法も同様のことです
どの組合せが良いか？
それは、具体的な証明すべき命題で決まる
>>100について
訂正再投稿
証明手法として
1)普通の証明（P→Q）(直接法)
2)対偶法
3)背理法
補足
対偶法と背理法とは、間接証明とかいうそうですね
(参考)
www.jstage.jst.go.jp/article/jasme/24/2/24_25/_pdf/-char/ja
全国数学教育学会誌 数学教育学研究第24巻第2号2018 pp.25〜36
間接証明の構造の理解に関する研究 −理解の様相を捉える枠組みの構成一
広島大学大学院 教育学研究科 院生 浦山大貴
＜ちょっと妖しいが・・ｗ (＾＾；＞
exam-strategy.jp/archives/1321
敬天塾 2024年8月27日
背理法と対偶命題の証明法は、どのように使い分けるのか
背理法と対偶命題の証明法の使い分けは（基本編）
では、やっとですが背理法と対偶命題の証明法の使い分けに行きましょう。
基本的には、
断定型の命題を否定しながら証明する時は、背理法
推論型の命題を否定しながら証明する時は、対偶命題の証明法
と使い分けます。
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