背理法と対偶って違うの？

背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
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85(3): １３２人目の素数さん [] 2024/12/08(日)23:49 ID:ynttxdFV(1)
>>84
違うよ >>11より再録
Q 背理法と対偶って違うの？
A 違います
<説明>
・下記の進研ゼミ包含関係ベン図「図1より，「 p ⇒q 」が真である，ということは，P⊂Qであるということ」
・いま、否定記号￢p, ￢q , 補集合を P^-, Q^- とします
　対偶は、”「￢q→￢p」が真である，ということは，Q^- ⊂ P^-であるということ”となります
　つまり、補集合Q^- と P^-をとると包含関係が逆向きで、命題否定関係も矢印が逆向きです（ここまでは高校範囲）
・では、背理法は？ (qの否定(￢q)) ・ p ⇒ 矛盾（空集合Φ、 ”・”は積です）
　つまりベン図で P∩Q^- ＝Φ（空集合）
です
・背理法の利点は、証明に使える条件が増えていること
　つまり、p ⇒q の証明は、pのみを使って q を導くのに対して
　背理法では、pに加えて qの否定(￢q)も使えて、矛盾（空集合Φ）を導けば良いってことです。この方が楽な場合があるってこと
（例 √2が無理数の証明で、背理法では”√2が無理数”の否定 → ”√2が有理数”と仮定するが使えるってこと）

なお、私は 10年くらいまえにここ当時2ch で下記の ”背理法被害者の会”のことを教えてもらって、そのときに考えたことです
なお、下記もご参照ください

(参考)
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0119.html
進研ゼミ高校講座
高校生の苦手解決Q&A
【数と式】「pならばq 」が真のとき，集合Pが集合Qに含まれる理由
Q
「pならばq 」が真のとき，集合Pが集合Qに含まれる理由
条件pを満たすもの全体の集合をP ，条件q を満たすもの全体の集合Qとするとき，「 p ⇒q 」が真であるときに P⊂Qが成り立つのか，P⊃Qが成り立つのかわかりません。
A
≪命題の真偽をベン図に表す≫
「 p ⇒q 」が真，つまり「 p ⇒q 」が成り立つ，ということをベン図に表してみましょう。
条件pを満たすもの全体の集合をP，条件qを満たすもの全体の集合をQとすると，Pに含まれているものx は，条件pを満たしています。今，「 p ⇒q 」が成り立っているのですから，xは条件qも満たしているということになり，xはQに含まれるのです。
つまり，Pに含まれているものはすべて，Qに含まれることになり，このことを集合のベン図で表すと，図１のようになります。
略
≪包含関係をベン図で表す≫
よって，図1より，「 p ⇒q 」が真である，ということは，P⊂Qであるということそのものであることがわかります。

★まとめ★
条件pを満たすもの全体の集合をP，条件qを満たすもの全体の集合Qとするとき，
「 p ⇒q 」が真⇔P⊂Q
となります。

86: １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月)00:13 ID:b+51aIH5(1/7)
>>85 補足

・今の話は、古典論理（下記）の中
・直観主義では、背理法は許容されない。
・なお対偶の一部 ”「AならばB」から「BでないならばAでない」は、直観主義論理においても導出可能である”
　が、”from ¬Q→¬P to P→Q, requires the law of the excluded middle or an equivalent axiom.”なので証明法としての対偶証明はダメ（英文ご参照）

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%A4%E5%85%B8%E8%AB%96%E7%90%86
古典論理（こてんろんり、英: classical logic）は形式論理の部類で、最も研究され最も広く使われている論理である。標準論理（英: standard logic）とも呼ばれる[1][2]。

特徴
以下に示す性質が特徴である:[3]
1.排中律の採用及び、二重否定の除去;
以下略す

ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E8%A6%B3%E4%B8%BB%E7%BE%A9_(%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%93%B2%E5%AD%A6)
直観主義 (数学の哲学)
来歴と評価
ブラウワーは、数学的概念とは数学者の精神の産物であり、その存在はその構成によって示されるべきだという立場から、無限集合において背理法によって非存在の矛盾から存在を示す証明を認めなかった。それゆえ、無限集合において「排中律」、すなわちある命題は真であるか偽であるかのどちらかであるという推論法則を捨てるべきだと主張し、ヒルベルトとの間に有名な論争を引き起こした。ヒルベルトの形式主義は、直接的にはブラウワーからの批判的主張に対し排中律を守り、数学の無矛盾性を示すためのものと考えることができる[1]。

ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E5%81%B6_(%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6)
対偶 (論理学)
対偶（たいぐう、英: Contraposition）とは、「AならばB」という形式の命題に対して、その命題の仮定と結論をそれぞれその否定に置き換えた上で両者を入れ替えた命題のことをいう。
定義
略す
通常の数学では古典論理を用いるため、命題「AならばB」とその対偶「BでないならばAでない」の真偽および証明可能性は必ず一致する (すなわち真理値が等しい）。

直観主義論理における扱い
上述の対偶の性質は古典論理におけるそれであり、非古典論理においては成立しない場合がある。例えば直観主義論理においては、必ずしも「AならばB」とその対偶「BでないならばAでない」の真偽は一致しない。

直観主義論理の特徴として、排中律の不成立（あるいは二重否定の除去の制限）があげられるが、対偶の性質はこの制限の影響を受け成立しない。なお「AならばB」から「BでないならばAでない」は、直観主義論理においても導出可能である。

en.wikipedia.org/wiki/Contraposition
Contraposition
In nonclassical logics
Intuitionistic logic
In intuitionistic logic, the statement
P→Q cannot be proven to be equivalent to
¬Q→¬P.
We can prove that
P→Q implies
¬Q→¬P (see below), but the reverse implication,
from ¬Q→¬P to P→Q, requires the law of the excluded middle or an equivalent axiom.

87(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月)00:33 ID:6A2Om1Cc(1/9)
>>85
ぷ
どちらからもどちらも導出できるのでほぼほぼ同じですよ

91(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/09(月)00:45 ID:6A2Om1Cc(5/9)
>>85
ベン図のような特定の論理（古典論理）に縛られた思考法はやめるべきでしょうね

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