背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
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77(3): １３２人目の素数さん [sage] 2024/11/30(土)09:47 ID:9Sqq12HI(4/6)
>>66 タイポ訂正
背理法は、
・命題の論理で 「Q ＆ Pの否定 → 矛盾」です
↓
背理法は、
・命題の論理で 「P ＆ Qの否定 → 矛盾」です
さて
>>76 つづき
数研通信 3号
背理法の定義について 塩見浩三 愛媛県西条高等学校
より
（当時の）数研出版の｢数学I」の教科書で
対偶については，186頁に
１命題の真偽は，その対偶の真偽と一致する．
２命題 p→qが真であることを示すために，
その対偶q^- → p^-が真であることを示し
てもよい．
と書いています．
（注： p^-は、pの否定を表す。テキストではpの上にバーがある。q^-も同様）
(引用終り)
つまり
1）命題 p→q ベン図ではP ⊂ Q
対偶 q^- → p^- ベン図では Q^c ⊂ P^c （P^c 、Q^c は補集合を表す）
と教えている
2）そう教えるならば、その流れで
背理法 qの否定(q^-) ＆ p → 矛盾(あり得ない) ベン図では P∩Q^c＝Φ（空集合）
とするべき
「証明すべき結論(上記のq)を否定して論理を進めていき」とするのが正
「ある事柄を証明するのに，まず その事柄が成り立たないと仮定して」は誤
”その事柄が成り立たない”などと、あいまい表現がよくない
”命題 p→q ”としたら、命題の否定とは 結論qの否定とすべき
さて、√2が無理数であることの証明の背理法の構造
命題 p→q に当て嵌めすると
p：√2は、x^2=2となる 正の実数
q：x=√2 は 無理数
さて、愚直に p→q を考えるとすると
簡単にいえば
これは、pから出発して 三段論法で ギャップなく qに到達すること
しかし、”q：√2 は、無理数”が曖昧だ。そこで 背理法の出番になる
分かり易く 背理法の前に、対偶法を考えよう
q^- ：x=√2 は 有理数
p^-：x^2=2 以外の (正の)実数
と書ける
ここで、”x^2=2 以外の (正の)実数”が数学的には使いづらいので
対偶 q^- → p^-
の背理法で
q^-(x=√2 は 有理数) かつ p(√2は、x^2=2となる 正の実数) →矛盾(あり得ない)
を導くことが閃く
（これは、元の命題の背理法 ”qの否定(q^-) ＆ p”と同じであることを注意しておく）
つまり、”x^2=2 以外の (正の)実数” よりも ”√2は、x^2=2となる (正の)実数”
が、圧倒的に使いやすい
そうやって、q^- ：x=√2 は 有理数
から、x=a/b (既約分数)とおけて
あとは、ご存知の通り →矛盾(あり得ない) が導ければ
背理法証明の完成です
”あり得ない”が、集合で空集合Φ に対応している
78: １３２人目の素数さん [sage] 2024/11/30(土)10:08 ID:9Sqq12HI(5/6)
>>77 つづき
√2が無理数であることの証明の背理法の構造
を分析してみよう
命題 p→q
p：√2は、x^2=2となる 正の実数
q：x=√2 は 無理数
ここで、q：x=√2 は 無理数 が、使いづらい
つまり、実数R で 有理数Q は定義が明確で分かり易い
一方 無理数は 実数R中の有理数Qでないものという定義だ
なので
q^- ：x=√2 は 有理数
を使いたい
対偶法と背理法が考えられる
対偶法では
p^-：x^2=2 以外の (正の)実数
が出てくる
これも使いづらい
p：√2は、x^2=2となる 正の実数
の方がスッキリ
だから、「q^- ：x=√2 は 有理数」と「p：√2は、x^2=2となる 正の実数」の組合せ
背理法による証明がベストなのだ
これを一般化しておくと
命題 p→q の証明で
qの部分が あいまいで使いづらいときに
qの否定（q^- ）を考えると 良い場合がある
このとき、対偶法と背理法が考えられる
対偶法で、pの否定 p^- が使いやすければ
対偶法でも可
しかし、上記の例のように pの否定 p^- が使いにくいときがある
そのときは、pとq^- の組合せの 背理法が良いってこと
上記 ”√2が無理数であること”の証明事例は
背理法による証明がベストです！！
80: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2024/11/30(土)14:08 ID:9Sqq12HI(6/6)
>>79
>・命題の論理で 「Q ＆ Pの否定 → 矛盾」です
ご苦労さまですｗ
ありがと
で、そこな
訂正入れたよ(>>77)
なので
・命題の論理で 「Q ＆ Pの否定 → 矛盾」
↓
・命題の論理で 「P ＆ Qの否定 → 矛盾」
だ
重箱の隅だが （＾＾
81: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/01(日)09:32 ID:akzgVyU5(1/2)
全くの蛇足ですが
1）>>76 数研出版 数研通信 3号
背理法の定義について 塩見浩三 愛媛県西条高等学校
より『背理法の中に対偶法も含めているのがほとんどの
教科書，参考書の書き方である．上の数研出版の教
科書の説明も同じである．』
と記されている
2）しかしながら、>>77に記したように
・命題 p→q ベン図ではP ⊂ Q
・対偶 q^- → p^- ベン図では Q^c ⊂ P^c （P^c 、Q^c は補集合を表す）
・背理法 qの否定(q^-) ＆ p → 矛盾(あり得ない) ベン図では P∩Q^c＝Φ（空集合）
とすべき
3）『√2が無理数であることの証明の背理法の構造
命題 p→q に当て嵌めすると
p：√2は、x^2=2となる 正の実数
q：x=√2 は 無理数』
『対偶 q^- → p^-
の背理法で
q^-(x=√2 は 有理数) かつ p(√2は、x^2=2となる 正の実数) →矛盾(あり得ない)
を導くことが閃く
（これは、元の命題の背理法 ”qの否定(q^-) ＆ p”と同じであることを注意しておく）』
『そうやって、q^- ：x=√2 は 有理数
から、x=a/b (既約分数)とおけて
あとは、ご存知の通り →矛盾(あり得ない) が導ければ
背理法証明の完成です』
4）さて、証明論として
a)直接法：p→q ベン図ではP ⊂ Q
b)間接法の対偶法 q^- → p^- ベン図では Q^c ⊂ P^c （P^c 、Q^c は補集合を表す）
c)間接法の背理法 qの否定(q^-) ＆ p → 矛盾(あり得ない) ベン図では P∩Q^c＝Φ（空集合）
となるが
学部レベルの簡単な定理では、このa)〜c) が当てはまる場合が多い
しかし、難しい定理 あるいは xx予想 と呼ばれる命題は、こういう単純パターンに乗らないものがある
例えば、”√2が無理数であることの証明”で、循環する無限連分数で表現できることを使える（下記）
（なお、ja.wikipedia 2の平方根もご参照）
(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0
連分数
様々な数の連分数展開
下線部はそれぞれの循環節。
2の平方根
（√2は、循環する無限連分数）
つづく
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