[過去ﾛｸﾞ] 背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
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109(3): １３２人目の素数さん [] 2024/12/10(火)10:52 ID:ytuvmVUS(1/5)
>>108
>背理法と対偶法は思考のロジックとして
>ほぼほぼ同じ内容です>>96
あんまり、数学に向いていない 雑な思考をしますねｗ ；ｐ）
>>107より
証明手法として
1)普通の証明（P→Q）(直接法)
2)対偶法 (間接法)
3)背理法 (間接法)
となります
対偶法と背理法とは、同じ間接法に分類されます
古典論理で
１）直接法 P→Q
２）対偶法 ¬Q→¬P
３）背理法 ¬Q⋀P→空(矛盾) (集合では¬Q ⋂ P＝Φ(空集合))
少し補足しましょうね >>107より
いつもの例題 √2が無理数であることの証明で示す
命題：実数 x^2=2→xは無理数である
p：実数 x^2=2、q：xは無理数
これを、直接法 p→q を示そうとするとき
出発点で使える条件は、”x^2=2” のみ
なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直施示すには、大理論を持ちだすしかない
典型例が、連分数の理論です
連分数の理論で、√2が無限に循環する連分数表示を持つことが分かる（下記）
よって、√2は無理数である （”無限連分数が無理数である”ことは、既知として）■
一方、背理法ならば ¬q⋀p→空(矛盾) を示せばいいので
¬q：xは有理数 x＝a/b (a/bは既約分数)
p： x^2=2
つまり、二つの条件 x＝a/b と x^2=2 とが使える利点があります （頻出なので、後は略す）
さて、対偶法です
¬q：x＝a/b → p： x^2≠2
となります
¬q → p： x^2≠2
を示すときに、”x^2≠2”がこのままでは まずい
よって、この対偶命題に 背理法を適用します
そうすると (¬q：x＝a/b) ⋀ (p：x^2=2)→空(矛盾)
とできて、これは 最初の命題 P→Q に対する背理法と 一致します！ （＾＾
なので、”√2が無理数であることの証明”では、背理法が一番簡単
直接法は、連分数の理論など大理論が必要
対偶法は、結局は 背理法 に持ち込むことになるでしょう
これが結論ですｗ
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0
連分数（れんぶんすう、英: continued fraction）とは、分母に更に分数が含まれているような分数のことを指す
二次無理数（整数係数二次方程式の根である無理数）の正則連分数展開は必ず循環することが知られている。
逆に、正則連分数展開が循環する数は二次無理数である。
様々な数の連分数展開
下線部はそれぞれの循環節。
2の平方根
√2＝略す
110: １３２人目の素数さん [] 2024/12/10(火)10:56 ID:ytuvmVUS(2/5)
>>109 タイポ訂正
なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直施示すには、大理論を持ちだすしかない
↓
なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直接示すには、大理論を持ちだすしかない
111: １３２人目の素数さん [] 2024/12/10(火)11:11 ID:ytuvmVUS(3/5)
>>109 補足
>なので、直接法で、「√2が無理数であること」を直施示すには、大理論を持ちだすしかない
>典型例が、連分数の理論です
補足しておきます
下記 無理数 で、無理数判定法があります
なので、√2が無限連分数表示を持つことから、下記の無理数判定法に持ち込んで
『√2は無理数』を示すのが、大学学部レベルの一つの直接証明法でしょう
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E7%90%86%E6%95%B0
無理数
無理数判定法
任意の ε > 0 に対して不等式
0<|α−p/q|<ε/q
が有理数解 p/q
を持つとき、α は無理数である。
多くの無理性の証明はこれを用いている。これは α が無理数であるための必要十分条件でもある。
性質
無理数を十進小数で表記すると、繰り返しのない無限小数（非循環小数）になる。これは記数法の底によらず一般の N 進小数でも成り立つ。
α を無理数とすると、
|α−p/q|<1/q^2
を満たす無限に多くの有理数
p/q
が存在する（ディリクレの定理）。
なお、このように無理数の有理数による近似を扱う理論はディオファントス近似と呼ばれる数論の分野に属する。
代数的無理数と超越数
無理数のうち、代数的数であるものを代数的無理数、そうでないものを超越数という。
α が代数的数、κ > 2 ならば、
|α−p/q|<1/q^κ
を満たす有理数
p/q
は有限個しかない（トゥエ−ジーゲル−ロスの定理）[5]。
このことは不定方程式の解の有限性を示すときに使われる。
2の平方根は代数的無理数であり、log2 3, e, π, eπ といった数は超越数である。ζ(3) が超越数であるか否かは未だに解決されていない。
→詳細は「超越数」を参照
115(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/10(火)19:27 ID:VYgOxHHf(1)
>>109
>あんまり、数学に向いていない 雑な思考をしますねｗ ；ｐ）
pu (*sigh*)
数学の思考法が常に緻密だというのは誤解でしょうよ
証明蜂蜜でなくてはいけないでしょうが（それも怪しいですが）
試行錯誤の段階では柔軟に考えるのが数学です
背理法と対偶法は思考のロジックとしてほぼほぼ同じ内容なのですから>>96
どっちを使って証明するのもお好み次第ですね
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