[過去ﾛｸﾞ] 背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 ﾚｽ栞
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
1(3): １３２人目の素数さん [] 2024/11/07(木)20:43 ID:sBZeRZGB(1)
同じじゃないの？
11(2): １３２人目の素数さん [] 2024/11/08(金)18:26 ID:str2S7EC(1/4)
>>1
Q 背理法と対偶って違うの？
A 違います
<説明>
・下記の進研ゼミ包含関係 ベン図 「図1より，「 p ⇒q 」が真である，ということは，P⊂Qであるということ」
・いま、否定記号 ¬p, ¬q , 補集合を P^-, Q^- とします
対偶は、”「¬q→¬p」が真である，ということは，Q^- ⊂ P^-であるということ”となります
つまり、補集合Q^- と P^-をとると 包含関係が逆向きで、 命題否定関係も矢印が 逆向きです（ここまでは高校範囲）
・では、背理法は？ (qの否定(¬q)) ・ p ⇒ 矛盾 （空集合Φ、 ”・”は積です）
つまり ベン図で P∩Q^- ＝Φ（空集合）
です
・背理法の利点は、証明に使える条件が増えていること
つまり、p ⇒q の証明は、pのみを使って q を導くのに対して
背理法では、pに加えて qの否定(¬q)も使えて、矛盾 （空集合Φ）を導けば良いってことです。この方が楽な場合があるってこと
（例 √2が無理数の証明で、背理法では”√2が無理数”の否定 → ”√2が有理数”と仮定する が使えるってこと）
なお、私は 10年くらいまえに ここ 当時2ch で 下記の ”背理法被害者の会”のことを教えてもらって、そのときに考えたことです
なお、下記もご参照ください
(参考)
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0119.html
進研ゼミ 高校講座
高校生の苦手解決Q&A
【数と式】「pならばq 」が真のとき，集合Pが集合Qに含まれる理由
Q
「pならばq 」が真のとき，集合Pが集合Qに含まれる理由
条件pを満たすもの全体の集合をP ，条件q を満たすもの全体の集合Qとするとき，「 p ⇒q 」が真であるときに P⊂Qが成り立つのか，P⊃Qが成り立つのかわかりません。
A
≪命題の真偽をベン図に表す≫
「 p ⇒q 」が真，つまり「 p ⇒q 」が成り立つ，ということをベン図に表してみましょう。
条件pを満たすもの全体の集合をP，条件qを満たすもの全体の集合をQとすると，Pに含まれているものx は，条件pを満たしています。今，「 p ⇒q 」が成り立っているのですから，xは条件qも満たしているということになり，xはQに含まれるのです。
つまり，Pに含まれているものはすべて，Qに含まれることになり，このことを集合のベン図で表すと，図１のようになります。
略
≪包含関係をベン図で表す≫
よって，図1より，「 p ⇒q 」が真である，ということは，P⊂Qであるということそのものであることがわかります。
★まとめ★
条件pを満たすもの全体の集合をP，条件qを満たすもの全体の集合Qとするとき，
「 p ⇒q 」が真⇔P⊂Q
となります。
つづく
76(2): １３２人目の素数さん [sage] 2024/11/30(土)08:44 ID:9Sqq12HI(3/6)
>>74 追加
数研出版
数研通信 3号
背理法の定義について 塩見浩三 愛媛県西条高等学校
より
(引用開始)
数研出版の｢数学I」の教科書では106頁に，√2
が無理数であることの証明を例にして
背理法”とは「ある事柄を証明するのに，まず
その事柄が成り立たないと仮定して矛盾を導き，
それによって事柄の成り立つことを証明する方
法」である．
と書いています．
また，他の参考書には，”背理法〃とは｢証明すべ
き結論を否定して論理を進めていき，与えられた条
件と対立する結論を導き出して矛盾（不合理）を示
す一つの証明方法である」と書いています．
対偶については，186頁に
１命題の真偽は，その対偶の真偽と一致する．
２命題 p→qが真であることを示すために，
その対偶q^- → p^-が真であることを示し
てもよい．
と書いています．
（注： p^-は、pの否定を表す。テキストではpの上にバーがある。q^-も同様）
背理法の中に対偶法も含めているのがほとんどの
教科書，参考書の書き方である．上の数研出版の教
科書の説明も同じである．
しかし，参考書は，対偶法の説明を背理法と考え
ている．
どちらも間違いではないが，定義がどうもあいま
いで，生徒にとって（先生自身にとっても）すっき
りしない説明に終わっているのが現状ではないだろ
うか？
背理法とは,AもB^-も仮定として用いて理論
を進め，他の真理（公理，定理，定義）に矛盾する
ことを引き出す証明法であり，対偶法とはB^-のみ
を仮定として理論を進めて,A^-を導く証明法であ
る．
(引用終り)
思うに、塩見浩三氏が書いているように
”背理法の中に対偶法も含めているのがほとんどの
教科書，参考書の書き方である”
”参考書は，対偶法の説明を背理法と考え
ている．”
で、 ”定義がどうもあいま
いで，生徒にとって（先生自身にとっても）すっき
りしない説明に終わっているのが現状ではないだろ
うか？”（塩見）でしょうｗ ；ｐ）
だから>>1 "背理法と対偶って違うの？
同じじゃないの？"
となるのだろう
やれやれ
そこから間違いを正していかないとなると
大変だよ〜ｗｗ ；ｐ）
84(1): １３２人目の素数さん [] 2024/12/08(日)22:41 ID:jtqhubKt(1)
>>1
まあほぼほぼ同じかな
P∧(¬Q→¬P)→Q
が背理法
(¬Q→¬P)→(P→Q)
が対偶法
上から下下から上が導出できるし
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 1.058s*