背理法と対偶って違うの？

背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

77: １３２人目の素数さん [sage] 2024/11/30(土) 09:47:46.38 ID:9Sqq12HI

>>66 タイポ訂正

背理法は、
・命題の論理で 「Q ＆ Pの否定 → 矛盾」です
　↓
背理法は、
・命題の論理で 「P ＆ Qの否定 → 矛盾」です

さて
>>76 つづき

数研通信 3号
背理法の定義について 塩見浩三 愛媛県西条高等学校
より
（当時の）数研出版の｢数学I」の教科書で
対偶については，186頁に
１命題の真偽は，その対偶の真偽と一致する．
２命題 p→qが真であることを示すために，
　その対偶q^- → p^-が真であることを示し
　てもよい．
と書いています．
（注： p^-は、pの否定を表す。テキストではpの上にバーがある。q^-も同様）
(引用終り)

つまり
1）命題 p→q ベン図ではP ⊂ Q
　対偶 q^- → p^-  ベン図では Q^c ⊂ P^c （P^c 、Q^c は補集合を表す）
　と教えている
2）そう教えるならば、その流れで
　背理法 qの否定(q^-) ＆ p → 矛盾(あり得ない) ベン図では P∩Q^c＝Φ（空集合）
　とするべき
　「証明すべき結論(上記のq)を否定して論理を進めていき」とするのが正
　「ある事柄を証明するのに，まず その事柄が成り立たないと仮定して」は誤
　”その事柄が成り立たない”などと、あいまい表現がよくない
　”命題 p→q ”としたら、命題の否定とは 結論qの否定とすべき

さて、√2が無理数であることの証明の背理法の構造
命題 p→q に当て嵌めすると
p：√2は、x^2=2となる 正の実数
q：x=√2 は 無理数

さて、愚直に p→q を考えるとすると
簡単にいえば
これは、pから出発して 三段論法で ギャップなく qに到達すること
しかし、”q：√2 は、無理数”が曖昧だ。そこで 背理法の出番になる

分かり易く 背理法の前に、対偶法を考えよう
q^- ：x=√2 は 有理数
p^-：x^2=2 以外の (正の)実数
と書ける
ここで、”x^2=2 以外の (正の)実数”が数学的には使いづらいので
対偶 q^- → p^-
の背理法で
q^-(x=√2 は 有理数) かつ p(√2は、x^2=2となる 正の実数) →矛盾(あり得ない)
を導くことが閃く
（これは、元の命題の背理法 ”qの否定(q^-) ＆ p”と同じであることを注意しておく）

つまり、”x^2=2 以外の (正の)実数” よりも ”√2は、x^2=2となる (正の)実数”
が、圧倒的に使いやすい

そうやって、q^- ：x=√2 は 有理数
から、x=a/b (既約分数)とおけて
あとは、ご存知の通り →矛盾(あり得ない) が導ければ
背理法証明の完成です

”あり得ない”が、集合で空集合Φ に対応している

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/77

81: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/01(日) 09:32:35.32 ID:akzgVyU5

全くの蛇足ですが

1）>>76 数研出版 数研通信 3号
　背理法の定義について 塩見浩三 愛媛県西条高等学校
　より『背理法の中に対偶法も含めているのがほとんどの
　教科書，参考書の書き方である．上の数研出版の教
　科書の説明も同じである．』
　と記されている
2）しかしながら、>>77に記したように
　・命題 p→q ベン図ではP ⊂ Q
　・対偶 q^- → p^- ベン図では Q^c ⊂ P^c （P^c 、Q^c は補集合を表す）
　・背理法 qの否定(q^-) ＆ p → 矛盾(あり得ない) ベン図では P∩Q^c＝Φ（空集合）
　とすべき
3）『√2が無理数であることの証明の背理法の構造
　命題 p→q に当て嵌めすると
　p：√2は、x^2=2となる 正の実数
　q：x=√2 は 無理数』
　『対偶 q^- → p^-
　の背理法で
　q^-(x=√2 は 有理数) かつ p(√2は、x^2=2となる 正の実数) →矛盾(あり得ない)
　を導くことが閃く
（これは、元の命題の背理法 ”qの否定(q^-) ＆ p”と同じであることを注意しておく）』
　『そうやって、q^- ：x=√2 は 有理数
　から、x=a/b (既約分数)とおけて
　あとは、ご存知の通り →矛盾(あり得ない) が導ければ
　背理法証明の完成です』
4）さて、証明論として
　a)直接法：p→q ベン図ではP ⊂ Q
　b)間接法の対偶法 q^- → p^- ベン図では Q^c ⊂ P^c （P^c 、Q^c は補集合を表す）
　c)間接法の背理法 qの否定(q^-) ＆ p → 矛盾(あり得ない) ベン図では P∩Q^c＝Φ（空集合）
　となるが
　学部レベルの簡単な定理では、このa)〜c) が当てはまる場合が多い
　しかし、難しい定理 あるいは xx予想 と呼ばれる命題は、こういう単純パターンに乗らないものがある
　例えば、”√2が無理数であることの証明”で、循環する無限連分数で表現できることを使える（下記）
（なお、ja.wikipedia 2の平方根もご参照）

(参考)
ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E5%88%86%E6%95%B0
連分数
様々な数の連分数展開
下線部はそれぞれの循環節。
2の平方根
（√2は、循環する無限連分数）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1730979839/81

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.021s