背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
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85(3): １３２人目の素数さん [] 2024/12/08(日)23:49 ID:ynttxdFV(1)
>>84
違うよ >>11より再録
Q 背理法と対偶って違うの？
A 違います
<説明>
・下記の進研ゼミ包含関係 ベン図 「図1より，「 p ⇒q 」が真である，ということは，P⊂Qであるということ」
・いま、否定記号 ¬p, ¬q , 補集合を P^-, Q^- とします
対偶は、”「¬q→¬p」が真である，ということは，Q^- ⊂ P^-であるということ”となります
つまり、補集合Q^- と P^-をとると 包含関係が逆向きで、 命題否定関係も矢印が 逆向きです（ここまでは高校範囲）
・では、背理法は？ (qの否定(¬q)) ・ p ⇒ 矛盾 （空集合Φ、 ”・”は積です）
つまり ベン図で P∩Q^- ＝Φ（空集合）
です
・背理法の利点は、証明に使える条件が増えていること
つまり、p ⇒q の証明は、pのみを使って q を導くのに対して
背理法では、pに加えて qの否定(¬q)も使えて、矛盾 （空集合Φ）を導けば良いってことです。この方が楽な場合があるってこと
（例 √2が無理数の証明で、背理法では”√2が無理数”の否定 → ”√2が有理数”と仮定する が使えるってこと）
なお、私は 10年くらいまえに ここ 当時2ch で 下記の ”背理法被害者の会”のことを教えてもらって、そのときに考えたことです
なお、下記もご参照ください
(参考)
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0119.html
進研ゼミ 高校講座
高校生の苦手解決Q&A
【数と式】「pならばq 」が真のとき，集合Pが集合Qに含まれる理由
Q
「pならばq 」が真のとき，集合Pが集合Qに含まれる理由
条件pを満たすもの全体の集合をP ，条件q を満たすもの全体の集合Qとするとき，「 p ⇒q 」が真であるときに P⊂Qが成り立つのか，P⊃Qが成り立つのかわかりません。
A
≪命題の真偽をベン図に表す≫
「 p ⇒q 」が真，つまり「 p ⇒q 」が成り立つ，ということをベン図に表してみましょう。
条件pを満たすもの全体の集合をP，条件qを満たすもの全体の集合をQとすると，Pに含まれているものx は，条件pを満たしています。今，「 p ⇒q 」が成り立っているのですから，xは条件qも満たしているということになり，xはQに含まれるのです。
つまり，Pに含まれているものはすべて，Qに含まれることになり，このことを集合のベン図で表すと，図１のようになります。
略
≪包含関係をベン図で表す≫
よって，図1より，「 p ⇒q 」が真である，ということは，P⊂Qであるということそのものであることがわかります。
★まとめ★
条件pを満たすもの全体の集合をP，条件qを満たすもの全体の集合Qとするとき，
「 p ⇒q 」が真⇔P⊂Q
となります。
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