背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
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11(2): １３２人目の素数さん [] 2024/11/08(金)18:26 ID:str2S7EC(1/4)
>>1
Q 背理法と対偶って違うの？
A 違います
<説明>
・下記の進研ゼミ包含関係 ベン図 「図1より，「 p ⇒q 」が真である，ということは，P⊂Qであるということ」
・いま、否定記号 ¬p, ¬q , 補集合を P^-, Q^- とします
対偶は、”「¬q→¬p」が真である，ということは，Q^- ⊂ P^-であるということ”となります
つまり、補集合Q^- と P^-をとると 包含関係が逆向きで、 命題否定関係も矢印が 逆向きです（ここまでは高校範囲）
・では、背理法は？ (qの否定(¬q)) ・ p ⇒ 矛盾 （空集合Φ、 ”・”は積です）
つまり ベン図で P∩Q^- ＝Φ（空集合）
です
・背理法の利点は、証明に使える条件が増えていること
つまり、p ⇒q の証明は、pのみを使って q を導くのに対して
背理法では、pに加えて qの否定(¬q)も使えて、矛盾 （空集合Φ）を導けば良いってことです。この方が楽な場合があるってこと
（例 √2が無理数の証明で、背理法では”√2が無理数”の否定 → ”√2が有理数”と仮定する が使えるってこと）
なお、私は 10年くらいまえに ここ 当時2ch で 下記の ”背理法被害者の会”のことを教えてもらって、そのときに考えたことです
なお、下記もご参照ください
(参考)
https://kou.benesse.co.jp/nigate/math/a14m0119.html
進研ゼミ 高校講座
高校生の苦手解決Q&A
【数と式】「pならばq 」が真のとき，集合Pが集合Qに含まれる理由
Q
「pならばq 」が真のとき，集合Pが集合Qに含まれる理由
条件pを満たすもの全体の集合をP ，条件q を満たすもの全体の集合Qとするとき，「 p ⇒q 」が真であるときに P⊂Qが成り立つのか，P⊃Qが成り立つのかわかりません。
A
≪命題の真偽をベン図に表す≫
「 p ⇒q 」が真，つまり「 p ⇒q 」が成り立つ，ということをベン図に表してみましょう。
条件pを満たすもの全体の集合をP，条件qを満たすもの全体の集合をQとすると，Pに含まれているものx は，条件pを満たしています。今，「 p ⇒q 」が成り立っているのですから，xは条件qも満たしているということになり，xはQに含まれるのです。
つまり，Pに含まれているものはすべて，Qに含まれることになり，このことを集合のベン図で表すと，図１のようになります。
略
≪包含関係をベン図で表す≫
よって，図1より，「 p ⇒q 」が真である，ということは，P⊂Qであるということそのものであることがわかります。
★まとめ★
条件pを満たすもの全体の集合をP，条件qを満たすもの全体の集合Qとするとき，
「 p ⇒q 」が真⇔P⊂Q
となります。
つづく
12(1): １３２人目の素数さん [] 2024/11/08(金)18:26 ID:str2S7EC(2/4)
つづき
http://abel.a.la9.jp/sub11.html
東京理科大学理学部第一部数学科 教授 安部直人 本文へジャンプ
背理法被害者の会
(通常背理法で証明される定理を背理法を用いず証明する)を東京理科大学数学科で実践しています。(理学部数学系教員の方たちや数学科の卒業生は周知のことと思います。)
https://note.com/uen0/n/n45881d3391b2
背理法に背を向ける（2002,2013・東京理科大学・理学部・数学科）
uenotakato（上野尚人:イマイさん）数学講師
2019年5月31日
（ここまでは数学的な話題をカットしてきましたが、いちおう数学としての意見も）
・「無理数であること」の証明に背理法を使うのは自然だと思います
・だって無理数の定義が「有理数で表せない実数」なんですから
・「有理数でないこと」を示すのに背理法は有効だし使うべきです
・対偶でも示せますが、対偶命題の真偽の概念を教えるのも骨が折れます
・言い出したら、入試問題にはいくらでもケチをつける余地はあります
・厳密にやってばっかりだと…疲れません？
つづく
13(2): １３２人目の素数さん [] 2024/11/08(金)18:27 ID:str2S7EC(3/4)
つづき
https://www.fos.kuis.kyoto-u.ac.jp/mailman3/hyperkitty/list/kisoron-ml@fos.kuis.kyoto-u.ac.jp/
Kisoron-ml
数学基礎論メイリングリスト
https://www.fos.kuis.kyoto-u.ac.jp/mailman3/hyperkitty/list/kisoron-ml@fos.kuis.kyoto-u.ac.jp/message/QEVDOXW2PFXIMG7FCTMTKYYQALRRRLQY/attachment/4/temp.pdf
(2015 年に書いたもの）
数学基礎論の関連した、おかしな数学の先生たち 江田勝哉 京都大学
脱背理法の本が出版されてしまった。今までにも、数学の先生の書
いた、数理論理学、集合論関係の本でおかしなものはある。この内容
よりも、ずっと凄まじいものもあるので、それらのおかしさを紹介し
ながら、数学基礎論(数理論理学、集合論) の専門外の人が、誤解しや
すいところを説明しようと思う。
つづく
14: １３２人目の素数さん [] 2024/11/08(金)18:28 ID:str2S7EC(4/4)
つづき
fuchino.ddo.jp/obanoyama2012-2016.html
伯母野山日記 2012 -- 2016 渕野 昌 updated on: 15.02.04
Title: 江田勝哉先生の 2015年 4月26日の email への返信
created on: 15.04.26(Su14:50(JST))
江田様
大変に愉快な (というよりむしろ (書いてある内容が) 大変に不愉快な) 作文を送っていただき， どうもありがとうございました． 江田さんがそこで書かれている，「おかしな数学の先生たち」の三役ですが， 最後の人 (たち) については，リストに入れることに抵抗を感じるものがあります． この人たちは「数学教育」の人なんですよね？ 日本は西洋数学を導入するときに， 学校教育は和算が，高等教育は洋学が受けもつ， という和算家との棲み分けをして，それが現代まで継承されているのだと思います．
もちろん，この洋学の方の末裔にも， 木村某氏のように受けをねらったでたらめを書いてお金をかせいでいる不届な人がいたりもするわけですが， 少なくともこちらの方のコミュニティーはインターナショナルな数学コミュニティーと没交渉ではないわけだし， 改善の努力をしてみる価値があるかもしれないと思っています． 一方，和算の末裔の方は，そこで閉じていて， 何か言ってみても単に時間の無駄なだけではないでしょうか? 実際， 江田さんが作文でとりあげているこの著者たちの場合には， 江田さんの批判にもかかわらず， 今年に入ってから本を出してしまったということなので，これはもうつける薬がない， ということでしょう．
ところで，この受けをねらったでたらめの人に関して書いた 文章 で --- といっても実は本人は大真面目で書いているのかもしれなくてその可能性も考慮して， 本気で批評を書きはじめた結果，どんどん長くなってきてしまっているのですが ---，
(引用終り)
以上
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