背理法と対偶って違うの？ (117ﾚｽ)
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64(1): １３２人目の素数さん [] 2024/11/29(金)20:15 ID:2grucmQc(1/5)
>>63
ご苦労さまです
背理法とベン図の関係
下記のchiebukuro.yahooのベストアンサーの図が秀逸ですよ （＾＾
(参考)
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1399736633
chiebukuro.yahoo
質問
ove********さん
2013/1/4
なぜp⇒qという命題の背理法では結論を否定して矛盾を見つけるんですか？
ベストアンサー
qxx********さん
2013/1/5
証明方法の原理はベン図で考えると分かりやすいです。
p⇒qというのは、ベン図で言うなら、Pという集合の中に属しているなら、Qという集合の中に必ず属しているということと同義です。(図1)
つづく
65(2): １３２人目の素数さん [] 2024/11/29(金)20:19 ID:2grucmQc(2/5)
つづき
例えばpを4の倍数qを2の倍数としてみましょうか。
図1と同じベン図になるのことが分かりますね。
では背理法で行う「 p かつ (qでない) 」ことを仮定して、否定するというのはベン図で言うとどういうことか？
「 p かつ (qでない) 」は図2の斜線部分に相当します。
本当は図1のようにPは全てＱのなかにすっぽり入っていて欲しいのです。
ここで、ＰのくせにＱからはみ出している奴ら「 p かつ (qでない) 」を仮定してこいつらについて考えます。
そこで矛盾を導き出すことで、こんなはみ出し者どもは居ない、ということを証明し、
PはすべてＱの中にすっぽりと入っていること、すなわちp⇒qを証明するのです。
これが背理法ですね。
(引用終り)
以上
66(2): １３２人目の素数さん [] 2024/11/29(金)21:39 ID:2grucmQc(3/5)
>>65 追加
図1、2の画像URL
https://chie-
pctr.c.yi
mg.jp/dk/iwiz-chie/ans-235148351?w=200&h=200&up=0
67(2): １３２人目の素数さん [sage] 2024/11/29(金)23:11 ID:2grucmQc(4/5)
>>64-66 補足
古典論理を、簡便に
ベン図や 下記 ド・モルガンの法則が成り立つ世界とします
P→Q は、ベン図で P ⊂ Q
背理法は、
・命題の論理で 「Q ＆ Pの否定 → 矛盾」です
・ベン図では、Qの補集合をQ^cと書くと 「P∩Q^c＝Φ（空集合）」ということです
因みに、P→Qの対偶は
・命題の論理で 「Qの否定→Pの否定」です
・ベン図では、「P^c ⊃ Q^c」（”P ⊂ Q”の ド・モルガンの法則）ということです
(参考)
rikeilabo.com/de-morgans-laws
理系ラボ
ド・モルガンの法則の解説｜証明と３つの場合
1.1 ド・モルガンの法則とは？
集合では、次の規則性が成り立ちます。
ド・モルガンの法則
略す
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%83%AB%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87
ド・モルガンの法則（ド・モルガンのほうそく、英: De Morgan's laws）は、ブール論理や集合の代数学において、論理和と論理積と否定（集合のことばでは、和集合と共通部分と差集合）の間に成り立つ規則性である。名前は数学者オーガスタス・ド・モルガン（Augustus de Morgan, 1806–1871）にちなむ。
この規則性（論理のことばで言うと「真と偽を入れ替え、論理和と論理積を入れ替えた論理体系」）は、元の論理体系と同一視できる、ということであるので、ド・モルガンの双対性（英: De Morgan's duality）と呼ばれることもある。
命題論理における法則
略す
述語論理における法則
略す
直観主義論理における法則
直観主義論理においてはド・モルガンの法則は必ずしも成り立たない。しかし、直観主義論理（LJ）においても以下のシークエント計算は証明可能である[1]。
略す
集合論における法則
略す
68(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/11/29(金)23:44 ID:2grucmQc(5/5)
>>67 追加
（下記 背理法と対偶法の違いが分りやすい、というか 高校教科書では両者の区別をあいまいにしているものがあるらしい）
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/03/3-1.pdf
数研出版
背理法の定義について 塩見浩三 愛媛県西条高等学校
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