確率は測度論を使うべきか？ (215ﾚｽ)

確率は測度論を使うべきか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/

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51: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 07:33:15.75 ID:lZq/h9dU >>45 ナンセンスだな。 「可算無限個の箱にはどれも1〜6しか入れない」 と宣言すればいい。それでも時枝記事の不思議さは失われない。 つまり、時枝記事の不思議さを語る上で、 確率分布は全く本質的ではない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/51

52: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 07:36:54.07 ID:lZq/h9dU >>51の設定で (★) 回答者は当てずっぽうに1つの箱を選んで、 　　 その中身を当てずっぽうに推測する という戦略を取った場合、回答者の勝率は自明に 1/6 である。 ここで重要なのは、 「(★)の戦略だと、1/6 を下回ることはないし、上回ることもない」 ということ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/52

53: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 07:39:07.56 ID:lZq/h9dU 実際、(★)の戦略の場合、回答者が「勝率ゼロ」を目指しても、 そうはいかず、どうしても 1/6 の確率で当たってしまう。 逆に、「勝率 1 」を目指して奮闘しても、 1/6 の上回ることはできない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/53

54: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 07:43:44.87 ID:lZq/h9dU 一方で、時枝記事の戦略は(★)ではなく、 ・ 回答者は i∈{1,2,…,100} を選ぶ。 というものである。そして、この戦略の場合、 時枝記事によれば、回答者の勝率は 99/100 以上になる。 (★)だと 1/6 が限界だったのに、時枝戦略なら 99/100 以上になる。 そこに時枝記事の不思議さがある。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/54

55: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 07:45:07.47 ID:lZq/h9dU このように、箱の中身を1〜6に制限しても、 時枝記事の不思議さは全く失われない。 確率分布は全く本質的ではない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/55

56: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 07:53:11.53 ID:lZq/h9dU つまり、>>51の設定のもとでは、時枝記事は 「回答者の勝率が 1/6 を上回るような戦略は存在するか？」 と聞いていることになる。そして、その答えは「YES」であると。 ここが時枝記事の不思議さであり、 確率分布は全く本質的ではない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/56

59: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 08:36:36.11 ID:lZq/h9dU >>57 ・ 出題者は s = (s1，s2，s3 ，・・・) を出題する。 ・ 回答者は i∈{1,2,…,100} を選ぶ。 回答者の推測が当たるか否かは、(s,i)が決まれば一意的に決まる。 A＝{(s,i)｜回答者の推測は当たる} と置けば、 確率 P(A) を求めればよいことになる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/59

60: １３２人目の素数さん [] 2024/10/21(月) 08:39:23.91 ID:lZq/h9dU s を固定するごとに、A における s の切片 A_s を考える。 つまり A_s＝{ i｜(s,i)∈A } である。 A_s ⊂ {1,2,…,100} であるから、A_s は高々100元の周元集合である。 よって、下記の標準的な確率空間 ・ ({1,2,…,100},pow({1,2,…,100}),η), η({i})＝1/100 において、A_s は可測である。 そして、時枝戦術により、A_s は99元または100元である。 すなわち、η(A_s)≧99/100 である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/60

61: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 08:40:40.21 ID:lZq/h9dU × A_s は高々100元の周元集合である。 〇 A_s は高々100元の有限集合である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/61

62: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 08:46:08.48 ID:lZq/h9dU ・ 求める確率はP(A)である。 ・ s を固定するごとに A_s は可測で、η(A_s)≧ 99/100 である。 ここまでが時枝記事で言っていること。 そして、時枝記事ではこれ以上のことは言ってない。 実際、A は非可測なので、P(A) は定義できない。 だから、もともとのAに関して 「回答者の勝率はゼロ(つまりP(A)＝0)」 は言えないし、 「回答者の勝率は正(つまりP(A)＞0)」 も言えない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/62

63: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 08:52:30.31 ID:lZq/h9dU そして、この議論において、確率分布の問題は本質的ではない。 箱の中に R 全体から実数を選んで格納していくのが もともとの設定だが、R から「等確率に」実数を選ぶ操作は不可能である。 ここだけ見ると、確率分布が問題であるかのように見えてしまうが、 それは本質的ではない。なぜなら、「箱の中身は1〜6のいずれかである」 と宣言すればいいからだ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/63

64: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 08:55:31.21 ID:lZq/h9dU 箱の中身を1〜6に制限しても時枝記事の議論は可能で、この場合は 「回答者の勝率が 1/6 を上回るような戦略は存在するか？」 と聞いていることになる。その答えとしては、 ・ s を固定するごとに A_s は可測で、η(A_s)≧ 99/100 である までは言える。しかし、Aは依然として非可測なので、P(A) は定義できない。 結局、確率分布の話は本質的ではなく、Aの可測性が問題である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/64

69: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 09:43:56.71 ID:lZq/h9dU >>65 ＞iを固定して、A における i の切片 A_i を考える。つまり A_i＝{ s_i｜(s,i)∈A } 。 細かいことだが、A_i＝{ s_i｜(s,i)∈A } ではなく A_i＝{ s｜(s,i)∈A } だろう。 ＞数列の項の値の範囲を[0,1]とすれば、A_i_d＝[0,1]　よってA_i_dは可測　 これは間違い。A_i_d ⊂ [0,1] ではあるが、ぴったり A_i_d ＝ [0,1] とは限らない。 この場合、以下の標準的な確率空間 ([0,1], ([0,1]内のルベーグ可測集合全体), μ), μ([a,b])＝b−a において、A_i_d は可測とは限らない。非可測のこともあり得る。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/69

70: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 09:51:35.02 ID:lZq/h9dU >>67 これもおかしい。 A_i_d ＝ { s_d } (1点集合) とはならないし、ましてや A_i_d ＝ { s_i_d } (1点集合) ともならない。切片という概念について混乱が見られる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/70

72: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 09:54:35.43 ID:lZq/h9dU >>71 ＞sの第i座標をs_iと表した　sではなくs_i s の第i座標を s_i と置いたところで、 i∈{1,2,…,100}を固定したときの、i における A の切片 A_i は A_i＝{ s_i｜(s,i)∈ A } ではなく A_i＝{ s｜(s,i)∈ A } である。やはり、切片という概念について混乱が見られる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/72

75: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 09:59:26.06 ID:lZq/h9dU >>73 間違っている。 任意の集合 X,Y と、任意の集合 A ⊂ X×Y が与えられたとする。 y∈Y を固定したときの、y における A の切片 A_y は、 A_y：＝{ x∈X｜(x,y)∈A } と定義される。 x∈X を固定したときの、x における A の切片 A_x は、 A_x：＝{ y∈Y｜(x,y)∈A } と定義される。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/75

76: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 10:00:31.72 ID:lZq/h9dU 記号の見た目を寄せるために、X,YではなくS,Iで書いてみよう。 任意の集合 S,I と、任意の集合 A ⊂ S×I が与えられたとする。 i∈I を固定したときの、i における A の切片 A_i は、 A_i：＝{ s∈S｜(s,i)∈A } と定義される。 s∈S を固定したときの、s における A の切片 A_s は、 A_s：＝{ i∈I｜(s,i)∈A } と定義される。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/76

78: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 10:04:45.68 ID:lZq/h9dU >>76のように書いた時点で、君の解釈がおかしいことが分かる。 君の解釈では、>76のような一般的な状況下でも A_i＝{ s_i｜(s,i)∈A } と書くことになってしまう。しかし、一般の集合S,Iに対しては、 「s_i」という記号そのものが出てこない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/78

79: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 10:05:27.05 ID:lZq/h9dU ・ Sが実数列の集合で、I＝{1,2,…,100}のときに限っては、 　 A_i＝{ s_i｜(s,i)∈A } が成り立つのだ なんてことも言えない。依然として A_i＝{ s｜(s,i)∈A } である。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/79

82: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月) 10:09:12.70 ID:lZq/h9dU >>77 ＞i切片ではなく、i & s_1,…,s_i-1,s_i+1,,s_100 切片 ＞d切片ではなく、d & s_i_1,…,s_i_d-1,s_i_d+1,… 切片 やっと間違いを認めたか。君が表現しようとしていた集合は「i切片」ではないよ。 実際、君も今回、「i切片ではなく」と書き直したからね。 結局、切片という概念について混乱していたのは君じゃないか。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1728961710/82

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