確率は測度論を使うべきか？ (215ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん
51(3): １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)07:33 ID:lZq/h9dU(1/40)
>>45
ナンセンスだな。
「可算無限個の箱にはどれも1〜6しか入れない」
と宣言すればいい。それでも時枝記事の不思議さは失われない。
つまり、時枝記事の不思議さを語る上で、
確率分布は全く本質的ではない。
52(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)07:36 ID:lZq/h9dU(2/40)
>>51の設定で
(★) 回答者は当てずっぽうに1つの箱を選んで、
その中身を当てずっぽうに推測する
という戦略を取った場合、回答者の勝率は自明に 1/6 である。
ここで重要なのは、
「(★)の戦略だと、1/6 を下回ることはないし、上回ることもない」
ということ。
53(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)07:39 ID:lZq/h9dU(3/40)
実際、(★)の戦略の場合、回答者が「勝率ゼロ」を目指しても、
そうはいかず、どうしても 1/6 の確率で当たってしまう。
逆に、「勝率 1 」を目指して奮闘しても、
1/6 の上回ることはできない。
54(2): １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)07:43 ID:lZq/h9dU(4/40)
一方で、時枝記事の戦略は(★)ではなく、
・ 回答者は i∈{1,2,…,100} を選ぶ。
というものである。そして、この戦略の場合、
時枝記事によれば、回答者の勝率は 99/100 以上になる。
(★)だと 1/6 が限界だったのに、時枝戦略なら 99/100 以上になる。
そこに時枝記事の不思議さがある。
55(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)07:45 ID:lZq/h9dU(5/40)
このように、箱の中身を1〜6に制限しても、
時枝記事の不思議さは全く失われない。
確率分布は全く本質的ではない。
56(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)07:53 ID:lZq/h9dU(6/40)
つまり、>>51の設定のもとでは、時枝記事は
「回答者の勝率が 1/6 を上回るような戦略は存在するか？」
と聞いていることになる。そして、その答えは「YES」であると。
ここが時枝記事の不思議さであり、
確率分布は全く本質的ではない。
59: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)08:36 ID:lZq/h9dU(7/40)
>>57
・ 出題者は s = (s1，s2，s3 ，・・・) を出題する。
・ 回答者は i∈{1,2,…,100} を選ぶ。
回答者の推測が当たるか否かは、(s,i)が決まれば一意的に決まる。
A＝{(s,i)｜回答者の推測は当たる} と置けば、
確率 P(A) を求めればよいことになる。
60(1): １３２人目の素数さん [] 2024/10/21(月)08:39 ID:lZq/h9dU(8/40)
s を固定するごとに、A における s の切片 A_s を考える。
つまり A_s＝{ i｜(s,i)∈A } である。
A_s ⊂ {1,2,…,100} であるから、A_s は高々100元の周元集合である。
よって、下記の標準的な確率空間
・ ({1,2,…,100},pow({1,2,…,100}),η), η({i})＝1/100
において、A_s は可測である。
そして、時枝戦術により、A_s は99元または100元である。
すなわち、η(A_s)≧99/100 である。
61: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)08:40 ID:lZq/h9dU(9/40)
× A_s は高々100元の周元集合である。
〇 A_s は高々100元の有限集合である。
62(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)08:46 ID:lZq/h9dU(10/40)
・ 求める確率はP(A)である。
・ s を固定するごとに A_s は可測で、η(A_s)≧ 99/100 である。
ここまでが時枝記事で言っていること。
そして、時枝記事ではこれ以上のことは言ってない。
実際、A は非可測なので、P(A) は定義できない。
だから、もともとのAに関して
「回答者の勝率はゼロ(つまりP(A)＝0)」
は言えないし、
「回答者の勝率は正(つまりP(A)＞0)」
も言えない。
63: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)08:52 ID:lZq/h9dU(11/40)
そして、この議論において、確率分布の問題は本質的ではない。
箱の中に R 全体から実数を選んで格納していくのが
もともとの設定だが、R から「等確率に」実数を選ぶ操作は不可能である。
ここだけ見ると、確率分布が問題であるかのように見えてしまうが、
それは本質的ではない。なぜなら、「箱の中身は1〜6のいずれかである」
と宣言すればいいからだ。
64: １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)08:55 ID:lZq/h9dU(12/40)
箱の中身を1〜6に制限しても時枝記事の議論は可能で、この場合は
「回答者の勝率が 1/6 を上回るような戦略は存在するか？」
と聞いていることになる。その答えとしては、
・ s を固定するごとに A_s は可測で、η(A_s)≧ 99/100 である
までは言える。しかし、Aは依然として非可測なので、P(A) は定義できない。
結局、確率分布の話は本質的ではなく、Aの可測性が問題である。
69(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)09:43 ID:lZq/h9dU(13/40)
>>65
＞iを固定して、A における i の切片 A_i を考える。つまり A_i＝{ s_i｜(s,i)∈A } 。
細かいことだが、A_i＝{ s_i｜(s,i)∈A } ではなく A_i＝{ s｜(s,i)∈A } だろう。
＞数列の項の値の範囲を[0,1]とすれば、A_i_d＝[0,1] よってA_i_dは可測
これは間違い。A_i_d ⊂ [0,1] ではあるが、ぴったり A_i_d ＝ [0,1] とは限らない。
この場合、以下の標準的な確率空間
([0,1], ([0,1]内のルベーグ可測集合全体), μ), μ([a,b])＝b−a
において、A_i_d は可測とは限らない。非可測のこともあり得る。
70(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)09:51 ID:lZq/h9dU(14/40)
>>67
これもおかしい。
A_i_d ＝ { s_d } (1点集合)
とはならないし、ましてや
A_i_d ＝ { s_i_d } (1点集合)
ともならない。切片という概念について混乱が見られる。
72(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)09:54 ID:lZq/h9dU(15/40)
>>71
＞sの第i座標をs_iと表した sではなくs_i
s の第i座標を s_i と置いたところで、
i∈{1,2,…,100}を固定したときの、i における A の切片 A_i は
A_i＝{ s_i｜(s,i)∈ A }
ではなく
A_i＝{ s｜(s,i)∈ A }
である。やはり、切片という概念について混乱が見られる。
75(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)09:59 ID:lZq/h9dU(16/40)
>>73
間違っている。
任意の集合 X,Y と、任意の集合 A ⊂ X×Y が与えられたとする。
y∈Y を固定したときの、y における A の切片 A_y は、
A_y：＝{ x∈X｜(x,y)∈A } と定義される。
x∈X を固定したときの、x における A の切片 A_x は、
A_x：＝{ y∈Y｜(x,y)∈A } と定義される。
76(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)10:00 ID:lZq/h9dU(17/40)
記号の見た目を寄せるために、X,YではなくS,Iで書いてみよう。
任意の集合 S,I と、任意の集合 A ⊂ S×I が与えられたとする。
i∈I を固定したときの、i における A の切片 A_i は、
A_i：＝{ s∈S｜(s,i)∈A } と定義される。
s∈S を固定したときの、s における A の切片 A_s は、
A_s：＝{ i∈I｜(s,i)∈A } と定義される。
78(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)10:04 ID:lZq/h9dU(18/40)
>>76のように書いた時点で、君の解釈がおかしいことが分かる。
君の解釈では、>76のような一般的な状況下でも
A_i＝{ s_i｜(s,i)∈A }
と書くことになってしまう。しかし、一般の集合S,Iに対しては、
「s_i」という記号そのものが出てこない。
79(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)10:05 ID:lZq/h9dU(19/40)
・ Sが実数列の集合で、I＝{1,2,…,100}のときに限っては、
A_i＝{ s_i｜(s,i)∈A } が成り立つのだ
なんてことも言えない。依然として A_i＝{ s｜(s,i)∈A } である。
82(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/10/21(月)10:09 ID:lZq/h9dU(20/40)
>>77
＞i切片ではなく、i & s_1,…,s_i-1,s_i+1,,s_100 切片
＞d切片ではなく、d & s_i_1,…,s_i_d-1,s_i_d+1,… 切片
やっと間違いを認めたか。君が表現しようとしていた集合は「i切片」ではないよ。
実際、君も今回、「i切片ではなく」と書き直したからね。
結局、切片という概念について混乱していたのは君じゃないか。
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.020s