純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19

[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

739(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 04/04(金)10:26 ID:nFnX0O4C(1/4)
>>734 補足
>4 Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis, second edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.

これの海賊版PDFが見つかった
P62
Theorem 1.3.12. Let A, B ∈ Mn be diagonalizable. Then A and B commute if and only if they are simultaneously diagonalizable.
Proof.
Assume that A and B commute, perform a similarity transformation on both A and B that diagonalizes A (but not necessarily B) and groups together any repeated eigenvalues of A. Ifμ1,...,μd are the distinct eigenvalues of A and n1,...,nd are their respective multiplicities, then we may assume that
略す

P63
Observation 1.3.18. Suppose that n ≥ 2. A given A ∈ Mn is similar to a block triangular matrix of the form (1.3.17) if and only if some nontrivial subspace of Cn is A-invariant. Moreover, if W ⊆ Cn isanonzero A-invariantsubspace,thensomevector in W is an eigenvector of A. A given family F ⊆ Mn is reducible if and only if there is some k ∈{2,...,n −1} and a nonsingular S ∈ Mn such that S−1AS has the form (1.3.17) for every A ∈ F.

The following lemma is at the heart of many subsequent results.

Lemma1.3.19. Let F ⊂ Mn beacommutingfamily. Then some nonzero vector in Cn is an eigenvector of every A ∈ F.
Proof. 略す

P64
Lemma 1.3.19 concerns commuting families of arbitrary nonzero cardinality. Our next result shows that Theorem 1.3.12 can be extended to arbitrary commuting families of diagonalizable matrices.

Definition 1.3.20. A family F ⊂ Mn is said to be simultaneously diagonalizable if there is a single nonsingular S ∈ Mn such that S−1AS is diagonal for every A ∈ F.

Theorem 1.3.21. Let F ⊂ Mn be a family of diagonalizable matrices. Then F is a commuting family if and only if it is a simultaneously diagonalizable family. Moreover, for any given A0 ∈ F and for any given ordering λ1,...,λn of the eigenvalues of A0, there is a nonsingular S ∈ Mn such that S−1A0S = diag(λ1,...,λn) and S−1BS is diagonal for every B ∈ F.

つづく

741(1): 現代数学の系譜雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 04/04(金)10:54 ID:nFnX0O4C(3/4)
>>739 ついでに補足

”対角化可能であるための必要十分条件”
結論：やっぱ固有値は大事だ！ｗ；ｐ）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E5%8C%96
対角化（たいかくか、diagonalization[1]）とは、正方行列を適当な線形変換によりもとの行列と相似な対角行列に変形することを言う。
対角化により変換において本質的には無駄な計算を省くことで計算量を大幅に減らすことができる。

対角化可能であるための必要十分条件
略
行列Aの固有ベクトルだけで n 次元ベクトル空間の基底が構成できるならば、それら縦ベクトルを横に並べた行列 P は正則行列となり、
P^{-1}AP=D が成り立ち、D の対角成分には A の固有値が並ぶ。
以上が行列が対角化できるための必要十分条件である。またこれは、実際に対角化を行うための手順にもなっている。

他にも同値な条件がいくつか知られている。

・（ここでは固有方程式が（重解を持つ場合も許容して）1次式の積に分解できることを前提とする。固有値・固有ベクトルが複素数でもよいのならこれはいつでも正しい（代数学の基本定理）が、実数だけで考えている場合は固有方程式の左辺が因数分解できないこともあり得る。）
A の固有値を
λ _{i},i=1,・・・ ,r, とするとき、A が対角化可能であるための必要十分条件は、次の等式が成り立つことである：
　Σ_{i=1}〜{r} dim ker (λ_{i} I_{n}-A)=n,
ここで、In は n 次単位行列を表す。
ker(λ_{i}I_{n}-A)} は固有値 λi
の固有空間であるから、この条件はベクトル空間の基底として A の固有ベクトルが取れることを意味している。
・上の条件は、
Σ {i=1}〜{r} dim ker(λ _{i}I_{n}-A)} の各項が
λ_{i}} の重複度と一致する、とも言い換えられる。一致しない場合はその固有空間の次元は
λi を下回り、総計が n には成り得ないからである。詳しくは固有空間の次元を参照。
・行列 A の最小多項式が重根をもたないことも対角化可能であるための必要十分条件である[2]。

A が実対称行列のとき、A は常に対角化可能であり、P として直交行列を取ることができる。
また A がユニタリー行列 U を用いて対角化できるためには、A が正規行列であることが必要十分である。
正規行列の中で応用上重要なクラスとして、対称行列とエルミート行列がある。

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.034s