[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19 (1002ﾚｽ)
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730(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 04/03(木)23:39 ID:iyw2e0au(5/5)
>>723
>正方行列AとBが交換可能ならば、同時対角化可能である、
>このことの最もエレガントな証明はどうすれば良いの？
スレ主です
それ ”高校数学の美しい”定理らしい。chiebukuro.yahooにもある
”最もエレガント”か。エレガントの定義が問題だろう 幾つか証明があるなら、お気に入りを選べば良いと思う
https://manabitimes.jp/math/1196
高校数学の美しい物語
同時対角化可能⇔交換可能の意味と証明 2024/08/21
2つの対角化可能な行列
A,B について，
AB=BA⟺ A と B は同時対角化可能
線形代数の重要な定理です。この定理の証明および量子力学における意味を解説します。
目次
同時対角化可能とは
定理のバリエーション
「同時対角化可能なら可換」の証明
「交換可能なら同時対角化可能」の証明
量子力学における意味
同時対角化可能とは
・ある正則行列 P が存在して
P −1 AP が対角行列になるとき，行列
A は対角化可能であると言います。
・ある正則行列
P が存在して
P−1 AP と P−1 BP がともに対角行列になるとき，行列
A と B は同時対角化可能であると言います。
定理のバリエーション
・物理においては，上記の定理で「対称行列」や「エルミート行列」の場合を考えることが多いです。（量子力学で使うのはエルミートのとき）。
・特に対称行列は常に対角化可能（→対称行列の固有値と固有ベクトルの性質の証明）であることに注意しましょう。
「同時対角化可能なら可換」の証明
こちらは簡単です
証明
⇐ の証明
略す
「交換可能なら同時対角化可能」の証明
A,B のサイズを n とします
方針
A を対角化する行列
P をもとに，
A と B を同時対角化する行列
PQ を構成します
A，B が対称行列の場合の証明
対象行列の場合は簡単に証明ができます。
証明
A の固有値 λ に対応する固有ベクトルの一つを
u とおくと，略す
一般的な場合
一般的なケースの証明では，ベクトル空間が固有空間の直和によって分解されることを用います。
準備の定理
略す
この定理の証明は飛ばします
「交換可能なら同時対角化可能」の証明
略す
この定理および証明を知っていれば解ける大学院入試の問題として，同時対角化の練習問題〜院試の問題を通してもどうぞ
量子力学における意味
量子力学では物理量はエルミート行列（演算子）に対応します
また，A と B が同時対角化可能というのは
A に対応する物理量と
B に対応する物理量が同時観測可能（一回の測定で両方分かる）であることを表しています
つまりこの記事で紹介した定理は同時観測可能かどうかを判定するには
AB−BA が 0 かどうかを確認すればよいことを表しています
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14260506624
chiebukuro.yahoo
知恵袋ユーザーさん
2022/4/18 行列A、Bが可換であるとき、同時対角化可能であるという証明はどのように行えばいいでしょうか？
回答
*********さん
2022/4/18
略す
731: １３２人目の素数さん [sage] 04/04(金)05:08 ID:PQVPbXDG(1)
>>726-728
読まずにコピペ、よくないね
>>729
教授だというだけで媚びるの、よくないね
>>730
肝心の証明が全略、よくないね
数学わかんないんでしょ？
数学板に書くのやめたら？
マジみっともないよ高卒さん
733: １３２人目の素数さん [] 04/04(金)07:57 ID:CsC7EptL(1/3)
>>730 補足
wikipediaの記事は、下記
”Commuting matrices Characterizations and properties ・Two diagonalizable matrices ・・”
で、
”if two diagonalizable matrices commute, they are simultaneously diagonalizable.[5] ”は、簡単
”But if you take any two matrices that commute (and do not assume they are two diagonalizable matrices) they are simultaneously diagonalizable already if one of the matrices has no multiple eigenvalues.[6]”は、複雑ですね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E8%A1%8C%E5%88%97
正規行列
スペクトル論
一般に二つの正規行列の和や積は必ずしも正規でないが、A および B が正規で AB = BA を満たす特別の場合には AB も A + B も正規である。さらに言えば、この二つの行列は同時対角化可能（英語版）、すなわち A と B は同じユニタリ行列 U によって UAU∗ および UBU∗ がともに対角行列となるようにすることができる。
＜同時対角化可能（英語版）下記＞
https://en.wikipedia.org/wiki/Diagonalizable_matrix#Simultaneous_diagonalization
Diagonalizable matrix
Simultaneous diagonalization
A set of matrices is said to be simultaneously diagonalizable if there exists a single invertible matrix
P such that P^{-1}AP is a diagonal matrix for every A in the set. The following theorem characterizes simultaneously diagonalizable matrices: A set of diagonalizable matrices commutes if and only if the set is simultaneously diagonalizable.[1]: p. 64
References
1 Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis, second edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.
つづく
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