[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19 (1002ﾚｽ)
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655(1): １３２人目の素数さん [sage] 03/25(火)08:22 ID:z1RqH4j0(1/3)
>>652
「正方行列なら正則行列（＝逆行列がある）」
「完備距離空間（コーシー列が収束する）ならコンパクト（＝任意の無限列は収束部分列を持つ）」
と（誤って）言い切ってしまえるID:AEEmcAjXが、「数理科学」2022年6月号特集の記事を
（誤りなく）読めたとは思えない
特に以下の箇所が理解できたとは思えない
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（Haussdorf1914の議論では）有限と無限の概念は，
集合論の外に “既にそこにあるもの” として与えられていることになるが，
一方，集合論の内部では，集合の概念を用いて無限の定義をすることができる．
現代の集合論では，無限集合の存在を保証する公理 (無限公理) として，
集合 U で， ∅ ∈ U で， すべての a ∈ U に対し，a ∪ {a} ∈ U となるものが存在する
という主張を採用する．
ここで存在の保証された集合 U を一つとり，集合の族 F を，
F := {W ⊆ U : ∅ ∈ W, すべての a ∈ W に対し， a ∪ {a} ∈ W }
と定義して (これは (真のクラスではなく) 集合である)，
ω := ∩ F (1)
とする．
この集合は，ここでの構成法から，
ω = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅{∅}}}, ...} (2)
となっている，と考えられる．
現代の集合論では，0 := ∅, 1 := {∅}, etc. として，この集合 ω を自然数の全体の集合と看倣すのだが，
ハウスドルフの集合論では，これとは別に，自然数の集合
N = {0, 1, 2, ...} (3)
が，“既にそこにあるもの”，として存在しているわけである．
しかし，ここで，(2) での “...” と，(3) での“...” が同じ種類のものである，
という保証はどこから出てくるのだろうか?
これは，ハウスドルフの教科書でのようなナレーションで集合論を習う人が，
当然突き当たる素朴な疑問だろう．
この学習者が初心者なら，ここで何らかの乖離が生じているのか，
そうではなくて，そうではないことが，何らかの方法で証明できるのかは，
直ちには分らないはずである．
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656(1): １３２人目の素数さん [sage] 03/25(火)08:24 ID:z1RqH4j0(2/3)
>>655の続き
ID:AEEmcAjXには、なぜ以下が云えるのか、理解できたとは思えない
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答を言ってしまうことにすれば，ここでは，実際に乖離が生じていて，
(2) での “...” と，(3) での “...” が同じ種類のものである，
ということは，(数学が矛盾していない限り) 証明できないし，
これを仮定することもできない．
つまり，この 2 つの “...” が同じ種類のものであることが
何等かの意味で (定式化できて) 証明できた，とすると，
そのことから矛盾が証明できてしまうことが示せる．
言葉を変えると，ハウスドルフがここで考えている集合の世界は，
それが，何らかの方法で妥当な公理系として定式化できたとすると，
矛盾する体系にしかなりえないのである．
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