[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19 (1002ﾚｽ)
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353(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2024/12/22(日)13:23 ID:pGQluwbN(5/7)
つづき
クリーネ（2009、p.479）は1952年に、特にヒルベルトによって開始された形式主義プログラムの文脈におけるゲンツェンの結果の重要性について次のようにコメントした。
形式主義者が無矛盾性の証明によって古典数学を安全にするという当初の提案では、ε 0までの超限帰納法のような方法を使用する必要があるとは考えられていませんでした。ゲンツェンの証明が、問題の定式化の意味で古典数論を安全にするものとしてどの程度受け入れられるかは、現状では、ε 0までの帰納法を有限な方法として受け入れる用意があるかどうかによって、個人の判断に委ねられています。
対照的に、バーナイズ（1967）は、ヒルベルトの有限手法への限定が制限的すぎるかどうかについて次のようにコメントしている。
したがって、「有限のスタンドプンクト」は古典的な推論方法の唯一の代替手段ではなく、証明理論の考え方によって必ずしも暗示されるものではないことが明らかになりました。したがって、証明理論の方法の拡張が提案されました。つまり、有限主義的な推論方法に縮小するのではなく、より一般的な推論形式を扱えるように、議論が構成的な性質を持つことだけが求められました。
ゲンツェンの証明によって始まった研究
ゲンツェンの証明は、いわゆる証明論的順序解析の最初の例です。順序解析では、整列していることが証明できる（構成的）順序数がどれだけ大きいか、または同等に、超限帰納法が証明できる（構成的）順序数がどれだけ大きいかを測定することによって、理論の強さを測ります。構成的順序数は、自然数の 再帰的整列の順序型です。
この言語では、ゲンツェンの研究により、一階ペアノ算術の証明論的順序数は ε 0であることが確立されています。
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3%E6%95%B0
イプシロン数あるいはエプシロン数 とは、数学における超限順序数の一つ。それ自身よりも小さい順序数から有限回の加算・乗算・冪乗では到達できない超限順序数として定義される。
α=ω^α
であるような γ 番目（0から数え始める）の順序数 α を εγ と書き、これらをイプシロン数と呼ぶ。この中で最小のものが ε0 （イプシロン・ゼロ（英: epsilon zero）、あるいはイプシロン・ノート（英: epsilon nought））である。
エプシロン数は、ドイツの数学者カントールによって順序数の算術（英語版）（順序数#順序数の演算も参照）の文脈において導入された。
en.wikipedia.org/wiki/Epsilon_number
the epsilon numbers are a collection of transfinite numbers whose defining property is that they are fixed points of an exponential map. Consequently, they are not reachable from 0 via a finite series of applications of the chosen exponential map and of "weaker" operations like addition and multiplication. The original epsilon numbers were introduced by Georg Cantor in the context of ordinal arithmetic; they are the ordinal numbers ε that satisfy the equation
ε=ω^ε,
in which ω is the smallest infinite ordinal.
略す
(引用終り)
以上
356: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/23(月)07:59 ID:XUEChow2(1/2)
>>352-353
証明論的順序解析は、数学としては意味があるが
数学の基礎付けとして意味があるか、といえば答えは否
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