[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19 (1002ﾚｽ)
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28(4): １３２人目の素数さん [] 2024/09/04(水)20:16 ID:JBVhli3l(3/5)
>>27
>その定義に照らして、「群じゃなくてリー代数の可解」とかいえるのか？
なんだ悠公、pdf読んでねぇのか、ホレっ、p9に書いてあるぞ 読めよ 悠公
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
定義3.17.リー代数gに対し，D0(g)=g Di(g)=[D(i-1)g,D(i-1)g]とおく．
gのイデアルの列
g=D0(g)⊃D1(g)⊃D2(g)⊃…⊃Di(g)
を導来列(derivedseries)と呼ぶ．
また，ある自然数に対してDn(g)=0となるとき，gを可解(solvable)と呼ぶ．
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
(リー括弧積[x,y]の定義はxy-yx (注：x^(-1)y^(-1)xyではない！))
全然違うだろが！
ついでにいうと例3.19の上三角行列t_n(k)の定義は例2.22にあるが
t_n(k)={(a_ij)∈gl_n(k)|aij=0 if i>j} （gl_n(k)はn次正方行列）
なので、対角成分は0が入っていてもよい
そこも「Q1の対角成分がすべて0でない上三角行列の全体G」とは異なる
29(2): １３２人目の素数さん [] 2024/09/04(水)20:21 ID:JBVhli3l(4/5)
>>28
>それから
>”Q4. 対角成分がすべて1である上三角行列の全体Hが可解群であることの証明”
>の”対角成分がすべて1で”についての意見を、
>”渡邉 究”をよく読んで書いてくださいね
悠公、マジで可解群のロジックが全然分かってないだろ
対角成分が0でない上三角行列の全体Gの正規部分群として
対角成分がすべて1である上三角行列の全体Hが存在してG/Hが可換だから
Hが可解群ならGも可解群になるだろが！
31(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/09/04(水)23:36 ID:Jyaa+Io/(1)
>>26-30
ご苦労さまです
おサルさんか>>5
なるほど>>28ね
それは一本とられたね ；ｐ）
だが、>>19の (参考)
ユーツベ/watch?v=Pp4TuyCfBC8
群論：上半三角行列群の可解性 15分もの
龍孫江の数学日誌
2020/07/21
体Ｋ上の可逆な３次上半三角行列全体が可解群となることを示します．
（３次の場合で示していますが，一般次元で成り立ちます）
を見ているかな？ｗ ；ｐ）
この龍孫江氏の上半三角行列群の可解性は
あくまで群としての可解性だ
つまり、上半三角行列全体は群とし可解であり
かつ>>28の 定義3.17.リー代数としても 可解(solvable)ってことだね
そして、あなたが>>27 で示したように 群としての可解も
導来列の話に翻訳できるってことで、全く別ものでもないってことなのでしょう
さて、龍孫江氏の説明で（冒頭の板書にあるが）
Ｂ：上半三角行列全体
Ｕ：対角成分がすべて1の上半三角行列全体
Ｔ：対角行列の全体
として
1）ＵはＢの正規部分群である
2）Ｂは可解である
を証明しているよ
『３次の場合で示していますが，一般次元で成り立ちます』
と、上記にもあるし、トーク中でも説明しているよ
つまりは、『Ｂ：上半三角行列全体が可解』
だということだ
これは、押えておくべき重要ポイントだねｗ ；ｐ）
32(2): １３２人目の素数さん [] 2024/09/05(木)08:07 ID:7s92pykO(1/3)
ガロア理論の１から１０まで知り尽くしたマイスター様も
リー代数はご存じありませんでしたか
>>31
>なるほど↓ね
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
定義3.17.リー代数gに対し，D0(g)=g Di(g)=[D(i-1)g,D(i-1)g]とおく．
gのイデアルの列
g=D0(g)⊃D1(g)⊃D2(g)⊃…⊃Di(g)
を導来列(derivedseries)と呼ぶ．
また，ある自然数に対してDn(g)=0となるとき，gを可解(solvable)と呼ぶ．
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
>それは一本とられたね
まあ、そういうことです
>だが、>>19の (参考)
>群論：上半三角行列群の可解性 15分もの
>龍孫江の数学日誌 2020/07/21
>体Ｋ上の可逆な３次上半三角行列全体が可解群となることを示します．
>（３次の場合で示していますが，一般次元で成り立ちます）
>この上半三角行列群の可解性は
>あくまで群としての可解性だ
そうですね
>つまり、上半三角行列全体は群とし可解であり
>かつ 定義3.17.リー代数としても 可解(solvable)ってことだね
あ、違いますけど
>>28
>例3.19の上三角行列t_n(k)の定義は例2.22にあるが
>t_n(k)={(a_ij)∈gl_n(k)|aij=0 if i>j} （gl_n(k)はn次正方行列）
>なので、対角成分は0が入っていてもよい
つまり、例3.19の上半三角行列全体t_n(k)は
行列の乗法では群にならないです
対角成分に0があったら、逆行列が存在しませんから
あくまで「対角成分がすべて0でない上三角行列の全体G」が群になります
（正方行列と正則行列の上三角行列版と思えばよいかと）
35(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/09/05(木)11:04 ID:Z0BYHMl3(1/2)
>>32
ご苦労様です
(引用開始)
>つまり、上半三角行列全体は群とし可解であり
>かつ 定義3.17.リー代数としても 可解(solvable)ってことだね
あ、違いますけど
>>28
>例3.19の上三角行列t_n(k)の定義は例2.22にあるが
>t_n(k)={(a_ij)∈gl_n(k)|aij=0 if i>j} （gl_n(k)はn次正方行列）
>なので、対角成分は0が入っていてもよい
つまり、例3.19の上半三角行列全体t_n(k)は
行列の乗法では群にならないです
対角成分に0があったら、逆行列が存在しませんから
(引用終り)
なるほど、もう一本取られたかなｗ ；ｐ）
しかし、それほど外れていない
つまり、龍孫江の群論：上半三角行列群 Tと、
対する上記 上半三角行列 t_n(k)：対角成分は0が入っていてもよい
で、包含関係 T ⊂ t_n(k) がなりたっている
なので、Tは リー代数としても 可解(solvable) であっています
即ち、リー代数としての 可解(solvable)は、
（対角成分は0が入っていてもよい）上三角行列に関するもので
群の可解(solvable)概念の拡張になっているってことですね
>>33
>『Ｂ：上半三角行列全体が可解』を示すために
>『U：対角成分がすべて1の上半三角行列全体が可解』を示したのも
>もしかして、Bが可解だから、その正規部分群であるUも可解だ、とかいってます？
なんか混乱していますよ
・まず、龍孫江氏での包含関係： Ｂ(上半三角行列全体)⊃U(対角成分がすべて1の上半三角行列全体)
で、ＢとUは群で、UはＢの正規部分群を、龍孫江氏は前半で示しています
・さて、龍孫江氏は後半で Bの可解性を示すには『Uの可解性を示せばよい』と板書しているでしょ？
そこ見ていますか？ 理解できていますか？
>>34
ご苦労様です
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