純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19

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974: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/30(水) 10:30:47.00 ID:EQ9Kz6Ml

>>971
ご苦労様です

Copilot :数学 線形代数 マトロイドとは？
マトロイドとは、線形代数におけるベクトルの一次独立性を抽象化した数学的構造です。これは、組合せ最適化の分野で重要な概念であり、グラフ理論や線形代数など、さまざまな分野で応用されています。
マトロイドの定義
マトロイドは、有限集合 (E) とその部分集合族 (\mathcal{F}) の組 ((E, \mathcal{F})) であり、以下の3つの公理を満たします：
- 空集合は独立集合：(\emptyset \in \mathcal{F})
- 包含関係の保持：もし (X \subseteq Y) かつ (Y \in \mathcal{F}) ならば、(X \in \mathcal{F})
- 交換性：もし (X, Y \in \mathcal{F}) であり、(X < Y) ならば、ある (e \in Y \setminus X) が存在して、(X + e \in \mathcal{F})

マトロイドの応用
- 線形代数：行列の列ベクトルの独立性を表す「線形マトロイド」
- グラフ理論：グラフの森（サイクルを含まない部分グラフ）を表す「グラフマトロイド」
- 組合せ最適化：貪欲アルゴリズムが最適解を保証する問題に適用可能

マトロイドは、数学的に美しい構造を持ち、最適化問題を解く上で非常に便利なツールです。もっと詳しく知りたい場合は、こちらやこちらをチェックしてみてください！

１）https://manabitimes.jp/math/1085
高校数学の美しい物語 マトロイドの定義と具体例 2021/03/07
マトロイドがなぜ嬉しいのか
線形マトロイド，グラフマトロイド，マッチングマトロイド，一様マトロイドなど，いろいろなところに登場します。ベクトルの一次独立性を抽象化した概念ですが，線形マトロイド以外にもたくさんのマトロイドがあります。
マトロイドは要素数最大化，線形関数最大化がしやすいです（貪欲アルゴリズムが成功する）。 →離散最適化において扱いやすい構造。

２）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%88%E3%83%AD%E3%82%A4%E3%83%89
マトロイド(matroid)は、ある公理を満たす集合とそのべき集合の部分集合の組である。歴史的には、行列の一次独立・従属を一般化した概念であるが、多くの組合せ最適化問題をマトロイドあるいはより緩い独立性システムとコスト関数で定式化でき、特徴付けを行える等応用範囲は広い。特に組合せ最適化において、マトロイド上の最適化問題には単純な貪欲法によって多項式時間のアルゴリズムとは限らないものの最適解が得られることは非常に重要である。
線形代数におけるマトロイド
E を体上の行列の列集合、その体上で線形独立である列の集合を F とするとき、(E, F) はマトロイドとなり、ベクトルマトロイド (vector matroid) と呼ぶ。マトロイドが同等の体 K 上のベクトルマトロイドとして記述できるとき、表現可能であると呼ばれる。任意の体上で表現可能なマトロイドを正則マトロイド (regular matroid) と呼び、位数2の有限体上で表現可能なマトロイドを2値マトロイド（英語版） (binary matroid) と呼ぶ。これらは、
・マトロイド ⊃ 2値マトロイド ⊃ 正則マトロイド ⊃ グラフ的マトロイド
という包含関係が成り立つ。一方で、Fanoマトロイドは、2値マトロイドであるが（実数体上では表現できないため）正則マトロイドではない。また、Vámosマトロイド（英語版） (Vámos matroid) は、任意の体上で表現できないマトロイドの最も簡単な例である

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/974

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