純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19

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726: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP  [] 2025/04/03(木) 20:53:14.25 ID:iyw2e0au

これいいね
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/
Yuji Tachikawa
https://member.ipmu.jp/yuji.tachikawa/misc/qft-math.html
場の量子論と数学の関係について特に詳細に書いたページ
場の量子論と数学についてもうすこし詳しく
僕の研究のかなりの部分は場の量子論(および弦理論)と数学との関係にあります関係には大きくわけて
・場の量子論の数学
・場の量子論による数学
・場の量子論のための数学
のみっつがあります「場の量子論の数学」とは、場の量子論自体を調べるために作った数学のこと、 「場の量子論による数学」とは、場の量子論を使って数学をする、場の量子論がもともと予期されない方法で数学と関係することで、 「場の量子論のための数学」とは、場の量子論の勉強をするのに既存の数学を使うことです これに関してはまずは講演動画「場の量子論の場の量子論による場の量子論のための数学」(講演ファイル)を見てください 以下、三つについてそれぞれ見ていきます

場の理論による数学
これについては、主なものをおおまかに年代順に並べてみたいと思います (若い学生さんによると一ヶ所にまとまっているのを見たことがないというので...) また、僕が研究をはじめた200x年以降のものに関しては自分が間接直接に関与したものに偏っており、他にも色々あると思いますが，すいませんご指摘いただければ追加する予定です

以下の例は物理をやっている人からすると非現実的な場の理論が多いと感じると思いますが、理由があります 通常の現実的な場の理論は非常にリッチなものです (そもそも素粒子の標準模型で我々自身の心まで支配されているわけですから) そこから取り出される予言は小数点つき誤差つきの量ですでも数学でもてはやされる(?)ものはもっと抽象的なものです そういうものを取り出せるためには理論がある程度簡単で、色んなものが誤差なく取り出せる必要があります それは現状では大きくわけて三つに限られます

1.自由場の理論か、二次元の共形場理論のように、完全に解ける理論
2.トポロジカルな場の理論
3.超対称な理論この場合は理論の全体は解けないですが、一部の超対称性で保たれているサブセクターが解けることがあります
このうち 1 と 2 は数学としても厳密に定式化されており、そこから得られた結果も数学的によくわかることが通常です 一方、3 から得られる数学的結果には、 数学として厳密に定式化されていない場の理論のリッチな側面の反映がまだ残っているため、 数学的により不可思議な結果であることが多いです
以下、項目名をクリックもしくはタッチすると内容が表示されます

0. ボゾン・フェルミオン対応とθ関数の無限和=無限積公式
　ヤコビのθ関数は無限和表示と無限積表示がありますこれには二次元の場の量子論による解釈があります略
1. モンスター群と二次元カイラル共形場理論の思い掛けない関係
　19 世紀から知られているモジュラー J 関数は 略
2. マチウ群と二次元カイラル共形場理論の思い掛けない関係
　19 世紀から知られているモジュラー J 関数は 略
　適切な頂点作用素代数があって、そこにマチウ群 M24 が作用していればいいのですが、それから 15 年経ったものの、ちょうどよい頂点作用素代数はみつかっていません困ったことです

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1725190538/726

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