[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19 (1002ﾚｽ)
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348: １３２人目の素数さん [] 2024/12/22(日)08:54 ID:pGQluwbN(1/7)
メモ
zenn.dev/gmomedia/articles/d110a6d23077c9
zenn
ChatGPT o1 pro modeに東大理系数学解かせてみた
2024/12/16
特に衝撃的だったのは、これまでo1-previewとして提供されていた生成モデルをさらにパワーアップしたo1、o1pro modeが提供されたことです。既に人間の脳に匹敵、あるいは凌駕する可能性まであるとか。
ChatGPT Proは$200/月で利用できるようです。早速登録して使ってみました。
東大入試数学を解いてもらおう
Xで流れてきたツイートによると、o1proは数理的推論能力に非常に優れており、大学入試数学も軽々解いてしまうとか。
自分は東京大学理系の卒業生ですが、o1proが解けてしまうならば自分のアイデンティティが崩壊する可能性があります。早速検証してみましょう。
昔の入試問題だと学習されているかもしれないので、2024年東大理系の数学を解かせてみます。
第1問
う、うーんすごい。正解です。
途中で自ら慎重に計算したり、計算ミスに気をつけたりするところはこれまでの生成AIにない特徴とも言えます。
もちろん、この生成物がそのまま解答用紙に書けるわけではありませんが、最終的な答えは完璧に正解です。正直、ビビりました
ちなみに、プロンプトは超シンプルですし、書き起こすのが面倒だったので問題をスクリーンショットで貼り付けただけです。1分45秒で正答されました。
第2問
まぐれかもしれないので、もう1問やらせてみます。
なんとなんと、こちらも正解です。回答にかかった時間は5分46秒でした。
ショックが強すぎて検証はここで打ち切ります。好評であれば第3問以降もやります。
AIは東大理系に合格できる
まだ数学の一部しか試していませんが、ここまでの感触からしてついにAIが東大に合格できるようになったと思います。
そういえば昔、「東ロボくん」という、まさにAIで東大入試に合格させるプロジェクトがありましたが、何らかのブレイクスルーがない限り不可能として凍結されたことを思い出しました。
今、まさに私たちはそのブレイクスルーの最中にいます。
349: １３２人目の素数さん [] 2024/12/22(日)09:06 ID:pGQluwbN(2/7)
メモ
note.com/shigel_jp/n/necaf72af1c64
OpenAI o1 pro modeで東大入試数学の問題を連続正答した
斉藤 滋
2024年12月6日
日本時間 12/5 AM 3:00、OpenAIはChatGPT ProとOpenAI o1 pro modeをリリースした。ChatGPT Proは月額$200 (約3万円)で通常利用ができる。詳しくは下記をご参照あれ。
以前o1シリーズがリリースされた際に解かせた問題と同じ問題を、新しいo1 pro modeで解かせてみる。ちなみにgpt-4, gpt-4oなどが出たときも解かせていたが、当時は惨敗だった。
解かせる問題 2010 東京大学 理系 数学5
前回と同じ問題である。
プロンプトは余計な文章は入れずに問題文だけです。
カスタムインストラクションは無しで実行している。
Cを半径1の円周と，AをC上の１点とする．3点P，Q，RがAを時刻t=0に出発し，C上を各々一定の速さで，P，Qは反時計回りに，Rは時計回りに，時刻t=2πまで動く．P，Q，Rの速さは，それぞれm，1，2であるとする．（したがって，QはCをちょうど一周する）ただしmは1≦m≦10を満たす整数である．△PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さmと時刻tの組を全て求めよ．
2010 東京大学 理系 数学5
「4/4 の信頼性」で検証
今回の発表で提示されたのは「4/4 の信頼性」という指標だった。簡単に説明すると、4回の試行のうち4回とも正答すればOK, 1回でも失敗すればNGという指標である。Competition Math (AIME 2024)の検証でo1 pro modeは86%の正答率を誇っている。今回はこれに倣って同様のテストを行う。
解けた！！
初めて一発で解けた。。。
これはすごいことだ。。。
4回目
さて、ラスト！
なんと……！
NG!!
まとめ
今回の結果は連続正答はできたものの、4回中3回成功の1回失敗ということでした。残念ながら「4/4 の信頼性」の指標では失敗に終わり、86%の成功側ではなく14%の失敗側で着地をしました。
しかし、私にとっては4回やって3回正答することはできず、お金を払えば東大入試問題を解けるようになったということである。
私にとっては3万円は安いと言えるし、逆に今までより3万円高い売上を出さないといけないという課題ができたとも言える。現時点ではわからないが、この課題はo1 pro modeなどが解決に導いてくれるのではないかと考えている。
351: １３２人目の素数さん [sage] 2024/12/22(日)12:54 ID:pGQluwbN(3/7)
しかと
352(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2024/12/22(日)13:21 ID:pGQluwbN(4/7)
メモ
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%82%B2%E3%83%B3%E3%83%84%E3%82%A7%E3%83%B3
ゲルハルト・カール・エーリヒ・ゲンツェン（ドイツ語: Gerhard Karl Erich Gentzen, 1909年11月24日 - 1945年8月4日）はドイツの論理学者・数学者。
ヘルマン・ワイルとパウル・ベルナイスの弟子。ゲッティンゲン大学でワイルに学び、1934年に学位を取得。プラハ大学で講師となる。1945年、第二次世界大戦でソ連軍に捕らえられ、プラハの捕虜収容所で栄養失調のため死去した。ヘルマン・ワイルとパウル・ベルナイスの弟子。ゲッティンゲン大学でワイルに学び、1934年に学位を取得。プラハ大学で講師となる。1945年、第二次世界大戦でソ連軍に捕らえられ、プラハの捕虜収容所で栄養失調のため死去した。
en.wikipedia.org/wiki/Gentzen%27s_consistency_proof
Gentzen's consistency proof
ゲンツェンの定理
ゲンツェンの定理は、第 1 階の算術、つまり第 1 階のペアノ公理によって公理化された、加算と乗算を含む自然数の理論に関するものです。これは「第 1 階」の理論です。量指定子は自然数には適用されますが、自然数の集合や関数には適用されません。この理論は、累乗、階乗、フィボナッチ数列などの再帰的に定義された整数関数を記述できるほど強力です。
ゲンツェンは、一階ペアノ公理の一貫性が、順序数ε 0までの量指定子のない超限帰納法という追加原理を伴う原始再帰算術の基本理論上で証明可能であることを示した。原始再帰算術は、かなり議論の余地のない、かなり単純化された形式の算術である。
ヒルベルトのプログラムとゲーデルの定理との関係
ゲンツェンの証明は、ゲーデルの第二不完全性定理の一般的に見落とされている一側面を浮き彫りにしている。理論の無矛盾性はより強い理論でのみ証明できると主張されることがある。
ヘルマン・ワイルは、 1931年のゲーデルの不完全性の結果がヒルベルトの数学の無矛盾性を証明する計画に壊滅的な影響を与えたことを受けて、1946年にゲンツェンの無矛盾性の結果の重要性について次のようにコメントした。[ 4 ]
ヒルベルトがそれをうまく実行できたなら、すべての数学者が最終的にヒルベルトのアプローチを受け入れたであろう。最初の一歩は刺激的で有望だった。しかしその後、ゲーデルがそれに大打撃を与え (1931 年)、数学はそこからまだ立ち直れていない。ゲーデルは、ヒルベルトの形式主義における記号、式、式の列をある方法で列挙し、一貫性の主張を算術命題に変換した。彼は、この命題が形式主義の範囲内で証明も反証もできないことを示すことができた。これは、2 つのことを意味するだけである。一貫性の証明を与える推論には、システム内に形式的に対応するものがない何らかの議論が含まれているに違いない、つまり、数学的帰納法の手順を完全に形式化することに成功していないか、または、厳密に「有限」な一貫性の証明への期待を完全にあきらめなければならない。 G. ゲンツェンが最終的に算数の一貫性を証明することに成功したとき、彼はカントールの「第 2 の順序数クラス」に浸透するタイプの推論を明白であると主張することで、実際にそれらの限界を超えました。
つづく
353(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2024/12/22(日)13:23 ID:pGQluwbN(5/7)
つづき
クリーネ（2009、p.479）は1952年に、特にヒルベルトによって開始された形式主義プログラムの文脈におけるゲンツェンの結果の重要性について次のようにコメントした。
形式主義者が無矛盾性の証明によって古典数学を安全にするという当初の提案では、ε 0までの超限帰納法のような方法を使用する必要があるとは考えられていませんでした。ゲンツェンの証明が、問題の定式化の意味で古典数論を安全にするものとしてどの程度受け入れられるかは、現状では、ε 0までの帰納法を有限な方法として受け入れる用意があるかどうかによって、個人の判断に委ねられています。
対照的に、バーナイズ（1967）は、ヒルベルトの有限手法への限定が制限的すぎるかどうかについて次のようにコメントしている。
したがって、「有限のスタンドプンクト」は古典的な推論方法の唯一の代替手段ではなく、証明理論の考え方によって必ずしも暗示されるものではないことが明らかになりました。したがって、証明理論の方法の拡張が提案されました。つまり、有限主義的な推論方法に縮小するのではなく、より一般的な推論形式を扱えるように、議論が構成的な性質を持つことだけが求められました。
ゲンツェンの証明によって始まった研究
ゲンツェンの証明は、いわゆる証明論的順序解析の最初の例です。順序解析では、整列していることが証明できる（構成的）順序数がどれだけ大きいか、または同等に、超限帰納法が証明できる（構成的）順序数がどれだけ大きいかを測定することによって、理論の強さを測ります。構成的順序数は、自然数の 再帰的整列の順序型です。
この言語では、ゲンツェンの研究により、一階ペアノ算術の証明論的順序数は ε 0であることが確立されています。
ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3%E6%95%B0
イプシロン数あるいはエプシロン数 とは、数学における超限順序数の一つ。それ自身よりも小さい順序数から有限回の加算・乗算・冪乗では到達できない超限順序数として定義される。
α=ω^α
であるような γ 番目（0から数え始める）の順序数 α を εγ と書き、これらをイプシロン数と呼ぶ。この中で最小のものが ε0 （イプシロン・ゼロ（英: epsilon zero）、あるいはイプシロン・ノート（英: epsilon nought））である。
エプシロン数は、ドイツの数学者カントールによって順序数の算術（英語版）（順序数#順序数の演算も参照）の文脈において導入された。
en.wikipedia.org/wiki/Epsilon_number
the epsilon numbers are a collection of transfinite numbers whose defining property is that they are fixed points of an exponential map. Consequently, they are not reachable from 0 via a finite series of applications of the chosen exponential map and of "weaker" operations like addition and multiplication. The original epsilon numbers were introduced by Georg Cantor in the context of ordinal arithmetic; they are the ordinal numbers ε that satisfy the equation
ε=ω^ε,
in which ω is the smallest infinite ordinal.
略す
(引用終り)
以上
354(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2024/12/22(日)17:05 ID:pGQluwbN(6/7)
メモ
https://en.wikipedia.org/wiki/John_Horton_Conway
John Horton Conway FRS (26 December 1937 – 11 April 2020) was an English mathematician. He was active in the theory of finite groups, knot theory, number theory, combinatorial game theory and coding theory. He also made contributions to many branches of recreational mathematics, most notably the invention of the cellular automaton called the Game of Life.
Early life and education
（google訳）
コンウェイは1937年12月26日、リバプールでシリル・ホートン・コンウェイとアグネス・ボイスの息子として生まれた。[ 2 ] [ 4 ]彼は幼い頃から数学に興味を持ち、11歳になる頃には数学者になることを夢見ていた。[ 5 ] [ 6 ]シックスフォームを卒業後、ケンブリッジ大学ゴンヴィル・アンド・キーズ・カレッジで数学を学んだ。[ 4 ]学校では「ひどく内向的な青年」だった彼は、ケンブリッジ大学への入学を外向的な人間に変身するチャンスと捉え、この変化により後に「世界で最もカリスマ的な数学者」というあだ名が付けられた。[ 7 ] [ 8 ]
コンウェイは1959年にBAを取得し、ハロルド・ダベンポートの指導の下、数論の研究を始めた。数を5乗の和として表すというダベンポートの未解決問題を解決した後、コンウェイは無限順序数に興味を持つようになった。[ 6 ]彼のゲームへの興味は、ケンブリッジ数学トリポスを学んでいた頃に始まったようで、そこで彼は熱心なバックギャモンプレイヤーとなり、談話室で何時間もそのゲームをしていた。[ 2 ]
1964年、コンウェイは博士号を取得し、ケンブリッジ大学シドニー・サセックス・カレッジのカレッジフェロー兼数学講師に任命された。[ 9 ]
1986年にケンブリッジ大学を去った後、プリンストン大学のジョン・フォン・ノイマン数学教授に就任した。
主な研究分野
幾何学
彼は高次元の格子を研究し、リーチ格子の対称群を初めて決定した。
幾何学的トポロジー
結び目理論では、コンウェイはアレクサンダー多項式の新しいバリエーションを定式化し、現在コンウェイ多項式と呼ばれている新しい不変量を生成しました。[ 33 ]この概念は、10年以上眠っていた後、1980年代に新しい結び目多項式に関する研究の中心となりました。
つづく
355(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [sage] 2024/12/22(日)17:06 ID:pGQluwbN(7/7)
つづき
群論
彼は多くの有限単純群の特性を記した『有限群のATLAS』の主著者である。同僚のロバート・カーティス、サイモン・P・ノートンとともに、彼は散在群のいくつかの最初の具体的な表現を構築した。より具体的には、リーチ格子の対称性に基づく3つの散在群を発見し、これらはコンウェイ群と名付けられた。[ 36 ]この研究により、彼は有限単純群の分類の成功において重要な役割を果たすようになった。
数学者ジョン・マッケイの1978年の観察に基づいて、コンウェイとノートンはモンスタームーンシャインと呼ばれる一連の予想を定式化した。コンウェイによって名付けられたこの主題は、モンスター群と楕円モジュラー関数を関連付け、これまで別個であった数学の2つの分野、有限群と複素関数論の橋渡しとなる。モンスタームーンシャイン理論は弦理論とも深いつながりがあることが明らかになった。[ 37 ]
コンウェイは、マシュー群 M を12 点から 13 点に 拡張したマシュー類群を導入しました。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%B3%E3%83%B3%E3%82%A6%E3%82%A7%E3%82%A4
ジョン・ホートン・コンウェイ（John Horton Conway, 1937年12月26日 - 2020年4月11日[2][3]）はイギリスの数学者。プリンストン大学名誉教授。
仕事
コンウェイ群（英語版）の発見 (1968)、ライフゲームの考案 (1970)、超現実数の発明 (1970)、巨大数のコンウェイ記法の発明などで知られる。エルデシュ数は 1。著名な弟子にはリチャード・ボーチャーズ、ロバート・ウィルソンがいる。
(引用終り)
以上
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