[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19 (1002ﾚｽ)
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739(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 04/04(金)10:26 ID:nFnX0O4C(1/4)
>>734 補足
>4 Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis, second edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521839402.
これの海賊版PDFが見つかった
P62
Theorem 1.3.12. Let A, B ∈ Mn be diagonalizable. Then A and B commute if and only if they are simultaneously diagonalizable.
Proof.
Assume that A and B commute, perform a similarity transformation on both A and B that diagonalizes A (but not necessarily B) and groups together any repeated eigenvalues of A. Ifμ1,...,μd are the distinct eigenvalues of A and n1,...,nd are their respective multiplicities, then we may assume that
略す
P63
Observation 1.3.18. Suppose that n ≥ 2. A given A ∈ Mn is similar to a block triangular matrix of the form (1.3.17) if and only if some nontrivial subspace of Cn is A-invariant. Moreover, if W ⊆ Cn isanonzero A-invariantsubspace,thensomevector in W is an eigenvector of A. A given family F ⊆ Mn is reducible if and only if there is some k ∈{2,...,n −1} and a nonsingular S ∈ Mn such that S−1AS has the form (1.3.17) for every A ∈ F.
The following lemma is at the heart of many subsequent results.
Lemma1.3.19. Let F ⊂ Mn beacommutingfamily. Then some nonzero vector in Cn is an eigenvector of every A ∈ F.
Proof. 略す
P64
Lemma 1.3.19 concerns commuting families of arbitrary nonzero cardinality. Our next result shows that Theorem 1.3.12 can be extended to arbitrary commuting families of diagonalizable matrices.
Definition 1.3.20. A family F ⊂ Mn is said to be simultaneously diagonalizable if there is a single nonsingular S ∈ Mn such that S−1AS is diagonal for every A ∈ F.
Theorem 1.3.21. Let F ⊂ Mn be a family of diagonalizable matrices. Then F is a commuting family if and only if it is a simultaneously diagonalizable family. Moreover, for any given A0 ∈ F and for any given ordering λ1,...,λn of the eigenvalues of A0, there is a nonsingular S ∈ Mn such that S−1A0S = diag(λ1,...,λn) and S−1BS is diagonal for every B ∈ F.
つづく
740: １３２人目の素数さん [] 04/04(金)10:26 ID:nFnX0O4C(2/4)
つづき
Proof. If F is simultaneously diagonalizable, then it is a commuting family by a previous exercise. We prove the converse by induction on n.Ifn = 1, there is nothing to prove since every family is both commuting and diagonal. Let us suppose that n ≥ 2 and that, for each k = 1,2,...,n − 1,anycommutingfamilyofk-by-k diagonalizable matrices is simultaneously diagonalizable. If every matrix in F is a scalar matrix, there is nothing to prove, so we may assume that A ∈ F is a given n-by-n diagonalizable matrix with distinct eigenvalues λ1,λ2,...,λk and k ≥ 2, that AB = BAfor every B ∈F, and that each B ∈ F is diagonalizable. Using the argument in (1.3.12), we reduce to the case in which A has the form (1.3.13). Since every B ∈ F commutes with A, (0.7.7) ensures that each B ∈ F has the form (1.3.14). Let B, ˆ B ∈ F, so B = B1⊕···⊕Bk and ˆ B = ˆ B1 ⊕···⊕ˆ Bk, in which each of Bi, ˆ Bi has the same size and that size is at most n − 1. Commutativity and diagonalizability of B and ˆ B imply commutativity and diagonalizability of Bi and ˆ Bi for each i = 1,...,d. By the induction hypothesis, there are k similarity matrices T1, T2,...,Tk of appropriate size,
each of which diagonalizes the corresponding block of every matrix in F. Then the direct sum (1.3.15) diagonalizes every matrix in F. Wehaveshownthat there is a nonsingular T ∈ Mn such that T−1BT is diagonal for every B ∈ F. Then T−1A0T = Pdiag(λ1,...,λn)PT for some permutation matrix P, PT(T−1A0T)P = (TP)−1A0(TP) = diag(λ1,...,λn) and (TP)−1B(TP) = PT(T−1BT)P is diagonal for every B ∈ F (0.9.5). □
Remarks: We defer two important issues until Chapter 3: (1) Given A, B ∈ Mn, how can we determine if A is similar to B? (2) How can we tell if a given matrix is diagonalizable without knowing its eigenvectors?
Although AB and BA need not be the same (and need not be the same size even when both products are defined), their eigenvalues are as much the same as possible. Indeed, if A and B arebothsquare,then ABand BAhaveexactlythesameeigenvalues. These important facts follow from a simple but very useful observation.
(引用終り)
以上
741(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 04/04(金)10:54 ID:nFnX0O4C(3/4)
>>739 ついでに補足
”対角化可能であるための必要十分条件”
結論：やっぱ 固有値は大事だ！ｗ ；ｐ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E8%A7%92%E5%8C%96
対角化（たいかくか、diagonalization[1]）とは、正方行列を適当な線形変換によりもとの行列と相似な対角行列に変形することを言う。
対角化により変換において本質的には無駄な計算を省くことで計算量を大幅に減らすことができる。
対角化可能であるための必要十分条件
略
行列Aの固有ベクトルだけで n 次元ベクトル空間の基底が構成できるならば、それら縦ベクトルを横に並べた行列 P は正則行列となり、
P^{-1}AP=D が成り立ち、D の対角成分には A の固有値が並ぶ。
以上が行列が対角化できるための必要十分条件である。またこれは、実際に対角化を行うための手順にもなっている。
他にも同値な条件がいくつか知られている。
・（ここでは固有方程式が（重解を持つ場合も許容して）1次式の積に分解できることを前提とする。固有値・固有ベクトルが複素数でもよいのならこれはいつでも正しい（代数学の基本定理）が、実数だけで考えている場合は固有方程式の左辺が因数分解できないこともあり得る。）
A の固有値を
λ _{i},i=1,・・・ ,r, とするとき、A が対角化可能であるための必要十分条件は、次の等式が成り立つことである：
Σ_{i=1}〜{r} dim ker (λ_{i} I_{n}-A)=n,
ここで、In は n 次単位行列を表す。
ker(λ_{i}I_{n}-A)} は固有値 λi
の固有空間であるから、この条件はベクトル空間の基底として A の固有ベクトルが取れることを意味している。
・上の条件は、
Σ {i=1}〜{r} dim ker(λ _{i}I_{n}-A)} の各項が
λ_{i}} の重複度と一致する、とも言い換えられる。一致しない場合はその固有空間の次元は
λi を下回り、総計が n には成り得ないからである。詳しくは固有空間の次元を参照。
・行列 A の最小多項式が重根をもたないことも対角化可能であるための必要十分条件である[2]。
A が実対称行列のとき、A は常に対角化可能であり、P として直交行列を取ることができる。
また A がユニタリー行列 U を用いて対角化できるためには、A が正規行列であることが必要十分である。
正規行列の中で応用上重要なクラスとして、対称行列とエルミート行列がある。
744: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 04/04(金)15:57 ID:nFnX0O4C(4/4)
下記 那須 弘和先生分かり易い
学歴 平成 9年 3月 名古屋大学 理学部数学科卒業か
https://fuji.ss.u-tokai.ac.jp/nasu/
那須 弘和 Hirokazu Nasu
東海大学 理学部 情報数理学科 学歴 平成 9年 3月 名古屋大学 理学部数学科卒業
https://fuji.ss.u-tokai.ac.jp/nasu/teaching.html
担当授業
https://fuji.ss.u-tokai.ac.jp/nasu/2021/lasc.html
2021年度秋セメスター Fall Semester, 2021
線形代数(SC) (理学部・化学科) Linear Algebra (Dept. of Chemistry)
https://fuji.ss.u-tokai.ac.jp/nasu/2021/lasc/lecture/lasc_2021_lecture18.pdf
1月6日(木) 行列の対角化可能性 ( スライド | 演習問題 )
第18回 行列の対角化可能性
P166/174
対角化可能であるための条件Aを複素数を成分とするn次(正方)行列とする.
Aの固有多項式をΦA(λ) = (−1)n(λ−a1)m1 ···(λ−ak)mk,ただしai=aj (i=j)とする.
(複素数の範囲では1次式の積に分解する.)
定理18.3
Aが対角化可能であるためには各i=1,...,kに対しn−rank(A−aiE) = miが成り立つことが必要かつ十分である.
上の条件は,各iに対し(固有ベクトルを求めるための)連立方程式(A−aiE)x = 0に, mi 個の互いに一次独立な解x=xj (j=1,...,mi)が存在することと同値である.
(おまけ)
https://nagoya.repo.nii.ac.jp/records/23653
線形代数I - 名古屋大学学術機関リポジトリ
著者 山上, 滋 公開日 2017-03-31
2021/03/01 — linear2016_10.pdf 10.行列の対角化 (95.3 kB) · ダウンロード
https://nagoya.repo.nii.ac.jp/record/23653/files/linear2016_10.pdf
10 行列の対角化 名古屋大学学術機関リポジトリ
PDF
このとき A が対角化可能であるための必要十分条件は、すべての 1 ≤ i ≤ r. について di = ni が成り立つこと。 Proof. 対角化できれば、固有ベクトルからなる基底が存在 ...
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