[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19 (1002ﾚｽ)
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206: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/09/29(日)00:15 ID:T27hJ6X0(1/7)
”選択公理と商集合の完全代表系”
https://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/yorioka/ss2019/fujita1.pdf
選択公理と整列集合
藤田博司愛媛大学理学部2019 年9月5日
数学基礎論サマースクール2019@静岡大学
https://youtu.be/I3_9oAmIv04?t=1
群論? ~ 選択公理と商集合の完全代表系 ~
数の落とし子 2024/06/11
群論の第十二回です。今回は、集合の同値関係における
同値類の基本性質を確認するとともに、選択公理を用いて、
商集合の完全代表系が存在することを示します。
@堀川武則
3 か月前
同値関係のお話基本的ですが面白かったです。有り難うございました
215: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/09/29(日)09:15 ID:T27hJ6X0(2/7)
>>207-214
朝早くから、ご苦労さまです
さて、某スレで 選択公理の議論があったので、下記を貼っておきます
可算無限の集合族には、可算選択公理が必要で
決定性公理は「可算族は選択関数をもつ」を導きます
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%81%B8%E6%8A%9E%E5%85%AC%E7%90%86
選択公理
選択公理の変種
可算選択公理
詳細は「可算選択公理」を参照
選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理（英: countable axiom of choice,denumerable axiom of choice）というものも考えられている[2]。全ての集合は可算集合を含むこと、可算集合の可算和が可算集合であることは、この公理により証明できる。
従属選択公理
詳細は「従属選択公理」を参照
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
決定性公理
決定性公理（けっていせいこうり、英: axiom of determinacy、AD と略される）とは、1962年にミシェルスキー（英語版）、ユゴー・スタインハウス（英語版）によって提案された集合論の公理である。もとの決定性公理はゲーム理論に言及し、可算無限の長さをもったある特定の二人位相的な完全情報ゲーム（英語版）について（後述）、どちらかのプレイヤーは必ず必勝法を持つことを主張する。
決定性公理は公理的集合論の選択公理と矛盾する。
決定性公理を仮定すると、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」「ベールの性質を持つ」「完全集合性を持つ」ことが従う。とくに実数の任意の部分集合が完全集合性を持つことは「実数の部分集合で非可算なものは実数と同じ濃度を持つ」という弱い形の連続体仮説が成り立つことに換言される。
選択公理からは「実数の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する」ことが導かれるが、この事実からも決定性公理と選択公理が相容れないことが分かる。
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/29/1/29_1_53/_article/-char/en
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/29/1/29_1_53/_pdf/-char/ja
数学 1977 Volume 29 Issue 1 Pages 53-64
決定性公理に関する最近までの諸結果について 法政大学 田中 尚夫
Ｐ55
ADから選択公理は否定されたが,次に述べる弱い形の選択公理がADから導かれる.
WAC(A):Aの空でない部分集合達の可算族は選択関数をもつ.
定理4.8(Mycielski[18]).
略す
216: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/09/29(日)12:55 ID:T27hJ6X0(3/7)
数学科の落ちこぼれ
下記のHart氏 Game2の可算無限族たる有理数の同値類から 各1つ代表を取ることに「可算選択公理が必要だろう？」
という主張に「選択公理が不要な非可算濃度の族の例示」が反論になっているという
・反例は1つで良い
・しかし、証明の代用に 一つの例を挙げて 何になるのか？ｗ
数学が、根本から分ってないオチコボレさんだった
(参考)
2chｽﾚ:math
(参考)Gameの内容:Choice Games 2013 http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
>> 具体的に代表を明示できるので可算選択公理は全く必要ない
>その”具体的に”を、具体的に書いて下さい
小数点以下、循環節で循環する小数
0.142857 142857…
0.428571428571…
0.285714285714…
0.857142857142…
0.571428571428…
0.714285714285…
なお、この6つの小数はすべて異なる同値類の代表
なぜなら、開始位置が異なるから
任意の有理数が循環節を持つことはフェルマーの小定理から示される
(引用終り)
なんか、臭くない？ ｗ
1）0.142857142857… を書き直すと
↓
0*x^0+1*x^1+4*x^2+2*x^3+8*x^4+5*x^5+7*x^6 +1*x^7+4*x^8+2*x^9・・・
（形式的冪級数に書けて xに1/10を代入すれば良い）
2）即ち、10進小数展開とは
形式的冪級数において、その係数が0〜9の整数に限定されていて
x＝1/10を代入した数だと考えることができる
（但し、よく知られているように 0.9999・・＝1のような例外処理は必要）
3）よって、n位までの有限小数は、
n次多項式f(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3+・・+anx^n で a0=0
注）Game2は、区間 [0,1] 内の有理数の10進小数展開だから
その係数は、0〜9の整数に限定されていると考えることができる
4）よって、10進小数展開の無限小数は形式的冪級数に
有限小数は n次多項式と考えれば
それは、Game1における実係数の形式的冪級数のしっぽ同値類と多項式環F[x]の関係と同じ
但し、形式的冪級数のしっぽが、ある循環節パターンを持つものに限定される
今の場合は、有理数を表す
”循環節パターンを持つ”という限定を外すと、無理数を含む
5）さて、Game2のしっぽ同値類は
ある循環節パターンを持つ(無限)形式的冪級数T(x)+f(x)∈F[x]
という形に書ける
係数が 0〜9の整数に限定され 循環節パターンを有するから 同値類は可算に収まる（が有限ではない）
で？ 可算ある同値類から、各一つ代表を取るときに、可算選択公理が不要とな？
(引用終り)
(同 427)
（龍樹 Nagarjuna）
複素解析が専門の数学者が、以下の
「非可算個の同値類に対する選択公理不要例」
も思いつかないとしたら、集合論が全然分かってない
ーーー
0以外の複素数に対して
z1〜z2 ⇔ z1/z2=c が正の実数
という同値関係を入れる
この同値関係によって、0以外の複素数は、非可算個の同値類に分かれる
では、各同値類から代表をとるのに、非可算選択公理が必要か？
答えはNo!
なぜなら同値類の代表は、絶対値1の複素数として具体的にとれるから
(引用終り)
217: １３２人目の素数さん [] 2024/09/29(日)13:11 ID:T27hJ6X0(4/7)
>>211
>自身のソースコードと完全に同じ文字列を出力するプログラムは Quine (クワイン) と呼ばれます。
クワインー鶴見俊輔か
鶴見俊輔氏の本を読んだことがある
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%AF%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%B3
ウィラード・ヴァン・オーマン・クワイン
ウィラード・ヴァン・オーマン・クワイン（Willard van Orman Quine、1908年6月25日 - 2000年12月25日[1]）は、アメリカの哲学者、論理学者。ハーバード大学教授。以後の分析哲学や数理論理学に大きな影響を与えた。主著に『論理的観点から』『ことばと対象』など。ショック賞論理学・哲学部門（1993年）、京都賞思想・芸術部門（1996年）受賞者。
経歴
オハイオ州アクロン出身。父は工場経営者、母は教師。1930年、オーバリン大学卒業、数学と哲学で学士号を取得。1932年、ハーバード大学よりPh.D.取得。指導教官はホワイトヘッド。ハーバードでは後にジュニア・フェローに選出され、4年間教育を行う義務を免除される。1932年から1933年までフェローシップを利用して、ヨーロッパを遊学し、タルスキなどの優れた論理学者やカルナップのようなウィーン学派の学者たちと交流する機会を得た。
タルスキが1939年の秋にケンブリッジで開かれた科学統一会議に招かれたのは、クワインの紹介を通じてであった。会議に出席するため、タルスキは独軍がポーランドを侵攻する前にポーランド北方のグダニスクを離れ、渡米。結果的にタルスキーは第二次大戦を生き延び、その後44年間アメリカで仕事を続けた。
クワインの研究室は、ドナルド・デイヴィッドソン、デイヴィッド・ルイス、ダニエル・デネット、ギルバート・ハーマン、鶴見俊輔、ダグフィン・フォレスダール、王浩、ユーグ・ルブラン、ヘンリー・ヒズなど、多くの著名な哲学者を輩出した。
日本との関わり
最初の教え子の一人に鶴見俊輔がいる。1959年に初来日[1][2]。1996年に京都賞思想・芸術部門受賞[1][2]。
218: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/09/29(日)13:22 ID:T27hJ6X0(5/7)
鶴見俊輔
「ベ平連」
そうだったのか
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%B6%B4%E8%A6%8B%E4%BF%8A%E8%BC%94
鶴見俊輔
鶴見 俊輔（つるみ しゅんすけ、1922年〈大正11年〉6月25日 - 2015年〈平成27年〉7月20日）は、日本の哲学者・評論家・政治運動家・大衆文化研究者。アメリカのプラグマティズムの日本への紹介者のひとりで、都留重人、丸山眞男らとともに戦後の進歩的文化人を代表する1人とされる。
米国ハーバード大学で哲学を学んだのち、リベラルな立場の批評で論壇を牽引。思想史から大衆文化まで幅広い分野を扱う。著書は『戦時期日本の精神史』(1982年)、『アメリカ哲学』(2008年)など多数。
安保闘争、ベ平連
1965年2月7日、アメリカが北ベトナム爆撃（北爆）を開始。同年3月、文藝春秋の画廊で富士正晴の絵の展覧会が1週間開かれた。
貝塚茂樹、桑原武夫と共に発起人を務めた鶴見はその頃、年の半分近くを東京で暮らしていたことから、期間中毎日受付にいた。
その最終日、「声なき声の会」事務局長の高畠が訪れ、「北爆に対し無党派の市民として抗議したいが、『声なき声の会』では小さすぎる。政党の指令を受けないサークルの呼びかけで、ベトナム戦争を支援する日本政府に抗議するデモをやろう」と鶴見に働きかけた[85][86]。
鶴見は当時西宮市にいた小田実を誘った。
高畠、鶴見、小田は東京新橋のフルーツパーラーに落ち合い、新しい団体の素案を練り[86]、同年4月24日に「ベトナムに平和を!市民文化団体連合」（のちの「ベトナムに平和を!市民連合」）を結成した[87][88]。
1966年6月にはベトナム北爆に抗議して在日アメリカ大使館前で座り込みを行った[88]。1967年には横須賀に寄港した空母イントレピッドからの脱走兵2人を東京・練馬の父の家に匿い、のち京都の自宅に移し、スウェーデンに送る[89]。1970年、大学紛争での警官隊導入に反対して同志社大学教授を退職[90]。
1976年には、桑原武夫、多田道太郎、井上俊、津金沢聡広らと現代風俗研究会を創設（桑原が初代会長）[91]。
219: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/09/29(日)13:56 ID:T27hJ6X0(6/7)
大学への数学 2024年10月号の巻頭言が、河東泰之氏
だったので、ちょっとびっくり
東大数学科での研究環境について書いていた
高校生の多くは、河東泰之氏がどんな先生か知らないだろうと
思いながら読んだ
https://www.fujisan.co.jp/product/1598/
大学への数学 2024年10月号 (発売日2024年09月20日) の目次
・巻頭言
日本の大学で数学の研究をするということ
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/others.htm
河東泰之の雑文リスト
[146] 日本の大学で数学の研究をするということ，『大学への数学』2024年10月号．
220: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2024/09/29(日)16:24 ID:T27hJ6X0(7/7)
河東泰之さんは、こんな人
あら、こんなところに「ルーディンの解析の本」と出てくるね
(参考)
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~yasuyuki/suri0810.pdf
数理科学NO.544,OCTOBER 2008
特集／私はどうして数学者になったか 河東泰之
麻布中学に入ることになった．中学入試が2月に終わったので，高等数学の代表と思っていた微分積分をぜひ勉強したいと思った．本屋に行って高校用の参考書を適当に選んで，当時数学IIBと呼ばれていた，多項式の微分積分を自分で勉強したところ，中学に入る前にすぐ終わってしまった．その参考書はかなり易しい内容のものだったのだが，どれが易しくてどれが難しいかもよくわからなかったのである．
そして中学1年の夏から秋にかけて，「大学への数学」と「数学セミナー」を見つけて読むようになった．
とても熱心にはしからはしまでよく読んだと思う．
数学は論理の積み重ねだから順番にきちんと一歩ずつ学んでいかなくてはいけない，などとよく言われるが，この頃は順番などまったく無視していた．
「大学への数学」で受験問題を解いたり，「数学セミナー」を読んで「エレガントな解答を求む」をやったり，「解析概論」を読んだり，みな平行してやっていた．(「解析概論」が重要な本であるということは「数学セミナー」で知った．すぐに買ってきて読み始めた．)さらに群論でも線形代数でも手当たり次第に読んだ．「エレガントな解答を求む」で最初にできた問題は，「3 √nより小さいすべての自然数で割り切れるような最大の自然数nを求めよ」というものである．正解者のところに「中学1年生!」とカッコつきで載ったのがうれしかった．1年間くらいは熱心にやっていたと思う．「解析概論」も同じ頃熱心に読み，最初の方のε-δ論法を始めとする厳密な解析学は，かなりまじめに勉強してちゃんとわかったと思った．前にわからなくて気になっていた切断もこのときわかるようになった．また，現在京都大学にいる中島啓氏と同級生で，しょっちゅう休み時間にトランプをしていたのもこの頃である．
3. 東大の頃
入学直後に，数学の勉強会のサークル，物理学研究会数学パートに入った．
1 年上に現在北海道大学の小野薫氏がいて，同学年に現在東京大学の小林俊行氏がいた．
そこでいろいろな本の輪講をした．よいサークルだったと思う．
アールフォースの複素関数論や，ルーディンの解析の本など，標準的な本から，もっとマニアックなものまでいろいろやった．このサークルは今でもあるようである．
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