[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19 (1002ﾚｽ)
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419(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/20(木)10:34 ID:BaWbUTFC(1/5)
>>418
>数学は
>局所的には「手筋」っぽいものが見えるときもあるが
>大域的にはそんな都合のよいストラテジーはない
私の意見は、微妙に違うが、
下記 HARDY の XI章 ディオファントス近似 を合わせて
勉強すると 良いとも思う The transcendence of e 及び The transcendence of πを
合わせて理解するべし
それが、MM(数学成熟度)を上げることに繋がる
(参考)
rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1738367013/795
An Introduction to the Theory of Numbers G.H. Hardy
これ原本の海賊版が見つかった。著作権問題で リンクは貼らない
BY G. H. HARDY AND E. M. WRIGHT 1975
CONTENTS
XI. APPROXIMATION OF IRRATIONALS BY RATIONALS
11.12. Simultaneous approximation
11.13. The transcendence of e
Il.14. The transcendence of π
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%82%AA%E3%83%95%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%88%E3%82%B9%E8%BF%91%E4%BC%BC
ディオファントス近似
最初の問題は、実数が有理数によってどのぐらいよく近似できるかを知ることであった。この問題のために、有理数 p/q が実数 α の「良い」近似であるとは、p/q と α の差の絶対値が、p/q を分母が小さい別の有理数に置き換えたときに小さくならないこととする。この問題は連分数によって18世紀に解かれた。
与えられた数の「最もよい」近似が分かり、この分野の主要な問題は、上記の差のよい上界と下界の分母の関数としての表示を見つけることである。
ディオファントス近似は、無理数や超越数の研究と深く関連している。実際、代数的数については次数や高さに依存して近似の精度に限界があることが知られている。また、不定方程式など、数学上の他の問題でもディオファントス近似に帰着することが多い。例えば、ペル方程式 y2=2x2-1 の整数解は 2 の平方根のディオファントス近似に帰着する。
ディリクレの定理
基本的な問題としては、任意の無理数 α に対して、
|x−yα|<1/y
となるような整数 x, y を求めることが挙げられる。
ディリクレのディオファントス近似定理により、上式を満足する x と y は無数に存在する。不等式は
|x/y−α|<1/y^2
と書き直すことができることから、「任意の無理数 α に対して、誤差が 1/y^2 以下であるような、近似有理数 x/y を求める」と言い換えることができる。
ディオファントス近似の不等式を満たす x, y が無限にあることの証明は鳩の巣原理を使って証明可能である。この証明の過程を利用して、π の近似で性能が良いものを分母が小さい順に求めると、以下のようになる。
略す
主な定理
リウヴィルの定理
略す
→詳細は「リウヴィル数」を参照
1840年代、ジョゼフ・リウヴィル (Joseph Liouville) は、代数的数の近似に対する最初の下界を得た。
この結果によってジョゼフ・リウヴィルは、超越数であることが初めて証明された例であるリウヴィル数、
略す
を得た。
つづく
420: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/20(木)10:34 ID:BaWbUTFC(2/5)
つづき
ディオファントス近似と超越数論の間のこのつながりは、今日まで続いている。証明の技術の多くが2つの分野の間で共有されている。
その後の改良
その後、上記リウヴィルの定理の右辺の q の指数部分は、以下の様に次第に改良されてきた。
発表年 発見者 結果
1844年 リウヴィル d
1909年 トゥエ n/2+1
1921年 ジーゲル 2√n
1947年 ゲルフォント, ダイソン √(2n)
1955年 ロス 2
https://en.wikipedia.org/wiki/Diophantine_approximation
Diophantine approximation
Approximation of algebraic numbers, Thue–Siegel–Roth theorem
The main improvements are due to Axel Thue (1909), Siegel (1921), Freeman Dyson (1947), and Klaus Roth (1955), leading finally to the Thue–Siegel–Roth theorem: If x is an irrational algebraic number and ε > 0, then there exists a positive real number c(x, ε) such that
略す
（こんなところに Freeman Dyson (1947)が・・）
424(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/20(木)11:06 ID:BaWbUTFC(3/5)
>>415
>手筋以前の考え方の方が
>囲碁でも重要
手筋、死活、定石、古碁ならべ、最新の棋譜（タイトル戦など）
そして、大局観
いろいろ勉強して レベルアップ していくってことが、大事ってことですね
426(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/20(木)11:11 ID:BaWbUTFC(4/5)
>>423
>肝心な箇所を単に数式を書くのが面倒だという理由で
数式は、コピーで文字化けしたり
式が崩れる
そもそも、ここ便所板は 数式を書くのに向かない
それが、数式を省略する主な理由で
次には、所詮便所板で、力んで 数式で 素人同士が議論して 何になる？ｗｗ ；ｐ）
そいうことですｗｗｗ ；ｐ）
427: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 02/20(木)11:15 ID:BaWbUTFC(5/5)
>>425
数学科でオチコボレた あほサル>>5 がなんか わめいているねｗ
あほサル>>5は、テンプレに登録済みだと 自覚して発言してねｗｗ ；ｐ）
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