[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）19 (1002ﾚｽ)
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12(3): １３２人目の素数さん [] 2024/09/04(水)11:03 ID:9awVcoCL(1/7)
>>11
2chｽﾚ:math
分からない問題はここに書いてね 472 へ
あと、
・数学的帰納法を使うことがすぐ浮かぶけど・・
・それ行列群の理論だね
(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A1%8C%E5%88%97%E7%BE%A4
行列群
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_group
Linear group
13: １３２人目の素数さん [] 2024/09/04(水)12:20 ID:9awVcoCL(2/7)
>>12 追加参考
www.ユーツベ/watch?v=J6BdvPp3beg
群論：三角行列のなす群
YouTube · 龍孫江の数学日誌 in YouTube
視聴回数: 250 回以上 · 3 年前
群作用と安定化群の考え方を利用して，上半三角行列の全体が群をなすことを証明します．
risalc.info/src/triangular-matrix.html
理数アラカルト
上三角行列/下三角行列の性質
最終更新: 2021年9月5日
上三角行列の積
上三角行列同士の積は上三角行列になる。 しかも対角成分が個々の上三角行列の対角成分の積になる。
ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E8%A1%8C%E5%88%97
三角行列
一般化
上三角行列全体の成す集合は結合多元環を成すのであった。これは函数解析学においてヒルベルト空間上のnest algebra（英語版）に一般化される。
ボレル部分群とボレル部分環
詳細は「ボレル部分群」および「ボレル部分環（英語版）」を参照
上（resp. 下）正則三角行列全体の成す集合は群、実際にはリー群を成し、正則行列全体の成す一般線型群の部分群となる。三角行列が可逆となるのはちょうどすべての対角成分が可逆つまり非零となるときであることに注意する。
実係数で考えれば、この群は非連結で、各対角成分が正または負となることに応じて 2n 個の連結成分を持つ。単位成分は対角成分が全て正の正則三角行列全体に等しく、また正則三角行列全体の成す群はこの単位成分の群と対角線上に ±1 が（各連結成分に対応して）並ぶ対角成分との半直積になる。
en.wikipedia.org/wiki/Triangular_matrix
Triangular matrix
Algebras of triangular matrices
Additionally, this also shows that the upper triangular matrices can be viewed as a Lie subalgebra of the Lie algebra of square matrices of a fixed size, where the Lie bracket [a, b] given by the commutator ab − ba. The Lie algebra of all upper triangular matrices is a solvable Lie algebra. It is often referred to as a Borel subalgebra of the Lie algebra of all square matrices.
19(4): １３２人目の素数さん [] 2024/09/04(水)16:10 ID:9awVcoCL(3/7)
>>18
>Q4. 対角成分がすべて1である上三角行列の全体Hが可解群であることの証明
>群論マイスターのスレ主様、できますでしょうか？
申し訳ないですが、
詳しい話は ”分からない問題はここに書いてね 472 へ”>>12 へ どぞ
なお、検索すると 下記 龍孫江のユーツベがヒットしたので これをご覧ください
私は詳しくないので、表題だけですが
”対角成分がすべて1である”のしばりがないように見えますね
なお、私はユーツベを詳しく見ていないので
何かわかったことがあれば、ここでご紹介ください
(参考)
ユーツベ/watch?v=Pp4TuyCfBC8
群論：上半三角行列群の可解性 15分もの
龍孫江の数学日誌
2020/07/21
体Ｋ上の可逆な３次上半三角行列全体が可解群となることを示します．
（３次の場合で示していますが，一般次元で成り立ちます）
＜文字起こし＞
11:59
なんとだいぶ分かりやすいきましたね
14:57
これはアーベルであることは具体的にこれを計算したと思う
なので正規部分群という系ですでこれ全部因子がアーベルになるもの
ができました
（コメント）
@user-uw4df7tn1o
4 年前
可逆な上半三角行列の可解性についてありがとうございました。上半三角行列から、その対角成分だけぬきとる(射影する)写像が、群準同型になる。Uから(t,t+1)成分に着目すると、乗法群から加法群へのまた準同型ができる。正規部分群であることは、bub^(-1)を計算しそうですが、その本質は、対角成分の準同型性にあるので、そこから、うまい準同型をつくり、その核に持ち込むのですね。言われれば分かりますが、慣れが必要です。
@jalmar40298
4 年前
群論、線形代数いずれの問題としても面白いですね
最後まで視聴して分かったけど、11:41でUからK^2への準同型が得られているんですね
そしてその核Vがアーベル群となるので、可解であるという議論の流れもできますね
20(4): １３２人目の素数さん [] 2024/09/04(水)16:27 ID:9awVcoCL(4/7)
>>19 追加
ヒットしたので、貼っておく
(参考)
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/kwatanab/cv.html
2015 年度 数学特別講義 X,代数学特論 V(リー代数入門)
埼玉大学 Date: January 19, 2016.
https://www.rimath.saitama-u.ac.jp/lab.jp/kwatanab/lie-algebra2015.pdf
PDF
2015年度 数学特別講義X，代数学特論V（リー代数入門）渡邉 究
P9
例 3.19. 上三角行列全体 tn(Ｋ) は可解である．
証明.命題2.23より，ｎn(Ｋ)＝Ｄtn(Ｋ)が成り立つ．
命題2.23では証明を与えなかったので，ここでこのことを確認をする．
えいeiｊ（i≦j）はtn(Ｋ)の基底をなす．
[eiｊ,eｊi]＝eiｊ（i≦j）なので
ｎn(Ｋ)⊂Ｄtn(Ｋ)となる
tn(Ｋ)＝∂n(Ｋ)＋ｎn(Ｋ)
かつ∂n(Ｋ)が可換であることから、
ｎn(Ｋ)＝Ｄtn(Ｋ)が成り立つ
21(1): １３２人目の素数さん [] 2024/09/04(水)16:28 ID:9awVcoCL(5/7)
>>20 タイポ訂正
えいeiｊ（i≦j）はtn(Ｋ)の基底をなす．
↓
eiｊ（i≦j）はtn(Ｋ)の基底をなす．
24(3): １３２人目の素数さん [] 2024/09/04(水)17:46 ID:9awVcoCL(6/7)
>>22-23
>ガロア理論マイスターって、自らおっしゃってませんでしたっけ？
ガロア理論マイスターの定義は？
マイスターの定義は？
>それ 群じゃなくてリー代数の可解
>リー群のリー代数が（リー代数として）可解なら、
>もとのリー群も（群として）可解のようですが
>ここで求めているのはあくまで群としての可解性を直接証明する方法です
１）あなたの”可解”の定義を、ここに書いてください
２）その定義に照らして、「群じゃなくてリー代数の可解」とかいえるのか？
３）それから、>>18の ”Q4. 対角成分がすべて1である上三角行列の全体Hが可解群であることの証明”
の”対角成分がすべて1で”についての意見を、>>20の”渡邉 究”をよく読んでね
（なんか 勘違いの可能性を感じています）
25(1): １３２人目の素数さん [] 2024/09/04(水)17:48 ID:9awVcoCL(7/7)
>>24 タイポ訂正と追加
の”対角成分がすべて1で”についての意見を、>>20の”渡邉 究”をよく読んでね
↓
の”対角成分がすべて1で”についての意見を、>>20の”渡邉 究”をよく読んで 書いてくださいね
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