分からない問題はここに書いてね 472 (974ﾚｽ)
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98(5): １３２人目の素数さん [] 2024/08/20(火)13:53 ID:SruIMmeZ(1)
https://x.com/Mathematica_2/status/1642577369830682624
> 長軸と短軸の長さがそれぞれ2a,2bの楕円がある。
> その周上の点Pにおける楕円の法線と楕円の交点のうち、Pで無い方の点をQとする。
> 線分PQの長さの最小値を求めよ。
https://comic-days.com/episode/14079602755570154127 の 3ページ目によると
この問題は初等幾何の知識だけでいけるそうなので、誰か解いてみてください
101: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/20(火)15:31 ID:e/yDy3Oc(1)
>>98
分からないの？
110: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/23(金)03:28 ID:/G4Ss0QX(1)
>>98
楕円E
(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1,
0 < b ≦ a,
ee =１−(b/a)^2,
E上の点P (x_p, y_p)
点Pでの接線 (x_p/aa)x + (y_p/bb)y = 1,
点Pでの法線 y = yp{1 + (aa/bb)(x/xp−1)},
Eと法線の交点Q (x_q, y_q)
x_q−x_p = −2(1-ee)k・x_p,
y_q−y_p = −2k・y_p,
ここに
k = {１−ee(xp/a)^2}/{１−ee(2-ee)(xp/a)^2}
= {１−ee[１−(yp/b)^2]}/{１−ee(2-ee)[１−(yp/b)^2]},
∴ (yq-yp)/(xq-xp) = yp/{(1-ee)xp},
0<b≦a とする。
ee = １−(b/a)^2,
Max{PQ} = 2a, PQ が長軸のとき。
a/√2 ≦ b ≦ a のとき（丸い）は簡単
min{PQ} = 2b, PQ が短軸のとき。
しかし 0 < b < a/√2 のとき(扁平)は…
min{PQ} < 2b,
初等代数幾何学スレ_101-102
111(1): １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/27(火)04:22 ID:RyoPh7U8(1/2)
>>98
の解を検索で見つけた
https://www.nikkei-science.com/page/magazine/9807/ans3.html
(√2)b＜aのとき
min(PQ)＝(3√3)(a^2)(b^2)/((a^2+b^2)^(3/2))
1998年の記事で
和算による解き方は不明とされている
112: １３２人目の素数さん [sage] 2024/08/27(火)04:33 ID:RyoPh7U8(2/2)
問題を紹介する記事には
https://www.nikkei-science.com/page/magazine/9807/sangaku-Q.html
問題がいつごろ作られたものかはわからないが，宮城県に1912年に掲げられた算額からすばらしい問題を紹介しよう。
とあり
>>98のツイートで出題の年とされる
「M45/T1」と一致する
解の最終形がaとbの対称式であり
縦長、横長どちらの楕円からも導かれる
というのも面白い
349(1): イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2024/12/27(金)11:47 ID:Rq07YCLn(1/2)
>>98
楕円の接線の法線は楕円の中心を通るから、
最小値は短軸。
∴2b
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