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631(1): １３２人目の素数さん [] 02/09(日)02:12 ID:BnvKFdb2(1/3)
斎藤毅著『集合と位相』
自然数 N の元を
0 := ∅
1 := P(0)
2 := P(P(0))
3 := 2 ∪ {2}
4 := 3 ∪ {3}
…
と定義しています。
そして、演習問題で
N の元の間の関係として、集合の包含関係を考え、
(N, ⊂) が全順序集合になることを証明せよという問題があります。
その演習問題の解答ですが、数学的帰納法を使っています。
通常、数学的帰納法は自然数の理論に含まれます。
ですが、斎藤さんは自然数の定義はしていますが、数学的帰納法については既知としています。
このようなことは許されるのでしょうか？
634: １３２人目の素数さん [] 02/09(日)16:07 ID:jNhGpdNM(1/2)
>>631
数学の証明は我々が「普通」正しいと考える方法で行われ
その中には数学的帰納法も含まれています
ここで期待されているのは
公理的集合論の枠組みの中で構築した自然数のモデルである集合Nが
期待する性質を持つことを示すということで
数学的帰納法を使っても良いことが暗黙のうちに仮定されているということでしょうね
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