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564(1): １３２人目の素数さん [] 01/30(木)11:20 ID:pRf1K41k(2/8)
C^1 級関数 F : R^n × U → R^n を
(2.6) F(y, x) = f(x) - y
によって定義する。このとき
(2.7) F(b, a) = 0
である。さらに
(2.8) det ∂F/∂x(y, x) = det f'(x)
であるから、仮定(2.4)により
(2.9) det ∂F/∂x(b, a) ≠ 0
である。(2.7), (2.9)により F は陰関数定理の仮定をみたす。
したがって、点 a, b の開近傍 V (⊂ U), W と、 C^1 級関数 g : W → V 存在して、次の(2.10), (2.11)をみたす。ただし f(V) = W とする。
(2.10) g(b) = a
(2.11) x ∈ V, y ∈ W に対して、 y = f(x) ⇔ x = g(y).
573: １３２人目の素数さん [] 01/30(木)17:55 ID:pRf1K41k(4/8)
この定理を使えば、
>>563
>>564
で述べた問題点を解決できます。
f は U 上 C^1 級で、 det f'(a) ≠ 0 だから、 a を含む開集合 U' ⊂ U で、 det f'(x) ≠ 0 for any x ∈ U' をみたすものが存在する。
>>563
>>564
の U をこの U' で置き換える。
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