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480(1): １３２人目の素数さん [] 01/14(火)20:19 ID:22bSd855(1)
松村「可換環論」の定理2.5の証明がわかりません。
定理2.5
(A, m)を局所環、MをA上有限生成射影加群。
このとき、Mは自由加群。
(ω_1, ..., ω_n)をMの極小基。
（M/mMをA/mベクトル空間と見たときの基底の原像になっているもの）
F = Aω_1⊕...⊕Aω_nとおく。
全射φ: F → M (φ(⊕a_iω_i) = Σa_i ω_i)の核をKとする。
(ω_i)の取り方から、K⊂mF。
Mは射影加群だから、ψ: M → Fで、φ○ψ = id_Mとなるものが取れる。
よって、完全列0 → K → F → M → 0が分裂するので、F～ψ(M)⊕Kとなる。
これから、K = mK。 ←これをどう示すのかがわからないです。
484: １３２人目の素数さん [] 01/16(木)14:00 ID:L2UYTtYB(1/2)
>>480
mF=mω1+…+mωn
F/mF=(A/m)ω1+…+(A/m)ωn=M/mM
mK→ mF→ mM
|| ↓ ↓
K → F → M
↓ ↓
F/mF=M/mM
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