分からない問題はここに書いてね 472 (994ﾚｽ)
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抽出解除 ﾚｽ栞
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367(2): １３２人目の素数さん [] 2024/12/29(日)11:52 ID:qG+JrM3O(2/2)
また、
aを実数の定数として 数列 {cos(a*2^n)} をみるとき
・aがpiの有理数倍なら 周期的
・そうでないなら区間[-1,1]でdense
になりますか。
369: １３２人目の素数さん [] 2024/12/29(日)12:49 ID:3Novfna8(6/18)
>>367
exp(ia2^n)を考えるといいでしょう
378: １３２人目の素数さん [] 2024/12/29(日)18:24 ID:3Novfna8(7/18)
>>367
>・aがpiの有理数倍なら 周期的
そう言えば周期的なのでしょうか？
周期があるとしてそれがTとすると
cos(a2^n)=cos(a2^(n+T))
が全ての自然数nについて成立せねばならないので
a2^(n+T)=±a2^n+2mπ
とならねばならず
n=1とすると
a2^(1+T)=±2a+2mπ
a(2^T±1)=mπ
n=2とすると
a2^(2+T)=±a2^2+2m'π
a(2^T±1)=(m'/2)π
n=3とすると
a(2^T±1)=(m''/2^2)π
…
よりmは無限大にならざるを得ないのでは？
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